Все выпуски

Проблема голоморфного продолжения функций, определенных на границе области, в эту область актуальна в многомерном комплексном анализе. Она имеет долгую историю, начиная с работ Пуанкаре и Гартогса. В статье рассматриваются непрерывные функции, определенные на границе ограниченной области $ D $ в $ \mathbb C ^ n $, $ n> 1 $, с кусочно-гладкой границей и обладающие обобщенным граничным свойством Мореры вдоль семейства комплексных прямых, которые пересекают границу области. Свойство Мореры состоит в том, что интеграл заданной функции равен нулю по пересечению границы области с комплексной прямой. Показано, что такие функции голоморфно продолжаются в область $ D $. Для функций одной комплексной переменной свойство Мореры, очевидно, не влечет голоморфного продолжения. Поэтому эту проблему следует рассматривать только в многомерном случае $ (n> 1) $. Основным методом изучения таких функций является метод многомерных интегральных представлений, в частности интегрального представления Бохнера-Мартинелли.

The problem of holomorphic extension of functions defined on the boundary of a domain into this domain is actual in multidimensional complex analysis. It has a long history, starting with the proceedings of Poincaré and Hartogs. This paper considers continuous functions defined on the boundary of a bounded domain $ D $ in $ \mathbb C ^ n $, $ n> 1 $, with piecewise-smooth boundary, and having the generalized boundary Morera property along the family of complex lines that intersect the boundary of a domain. Morera property is that the integral of a given function is equal to zero over the intersection of the boundary of the domain with the complex line. It is shown that such functions extend holomorphically to the domain $ D $. For functions of one complex variable, the Morera property obviously does not imply a holomorphic extension. Therefore, this problem should be considered only in the multidimensional case $ (n> 1) $. The main method for studying such functions is the method of multidimensional integral representations, in particular, the Bochner-Martinelli integral representation.

В работе рассмотрено близкое к интегральному представлению Бохнера–Мартинелли интегральное представление Коши–Фантаппье, ядро которого состоит из производных фундаментального решения уравнения Лапласа. Целью работы является исследование свойств этого интегрального представления для интегрируемых функций. А именно, в работе рассматривается интеграл (интегральный оператор) с этим ядром для интегрируемых функций $f$ на границе $S$ единичного шара $B$. Рассмотрены итерации интеграла данного интегрального оператора порядка $k$. Доказано, что они сходятся к функции, голоморфной в $B$, при $k\to \infty$.

The paper considers the Cauchy–Fantappiè integral representation, which is close to the Bochner–Martinelli integral representation, and the kernel of which consists of derivatives of the fundamental solution of the Laplace equation. The aim of the work is to study the properties of this integral representation for integrable functions. Namely, the paper considers an integral (integral operator) with this kernel for integrable functions $f$ on the boundary $S$ of the unit ball $B$. Iterations of the integral of this integral operator of the order $k$ are considered. We prove that they converge to a function holomorphic in $B$ as $k\to\infty$.