Текущий выпуск Выпуск 1, 2021 Том 31

О функциях с граничным свойством Морера в областях с кусочно-гладкой границей

 pdf (152K)

Проблема голоморфного продолжения функций, определенных на границе области, в эту область актуальна в многомерном комплексном анализе. Она имеет долгую историю, начиная с работ Пуанкаре и Гартогса. В статье рассматриваются непрерывные функции, определенные на границе ограниченной области $ D $ в $ \mathbb C ^ n $, $ n> 1 $, с кусочно-гладкой границей и обладающие обобщенным граничным свойством Мореры вдоль семейства комплексных прямых, которые пересекают границу области. Свойство Мореры состоит в том, что интеграл заданной функции равен нулю по пересечению границы области с комплексной прямой. Показано, что такие функции голоморфно продолжаются в область $ D $. Для функций одной комплексной переменной свойство Мореры, очевидно, не влечет голоморфного продолжения. Поэтому эту проблему следует рассматривать только в многомерном случае $ (n> 1) $. Основным методом изучения таких функций является метод многомерных интегральных представлений, в частности интегрального представления Бохнера-Мартинелли.

Ключевые слова: ограниченная область с кусочно-гладкой границей, непрерывная функция, свойство Мореры, интегральное представление Бохнера-Мартинелли
Цитата: Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2021, т. 31, вып. 1, с. 50-58
DOI: 10.35634/vm210104

On functions with the boundary Morera property in domains with piecewise-smooth boundary

The problem of holomorphic extension of functions defined on the boundary of a domain into this domain is actual in multidimensional complex analysis. It has a long history, starting with the proceedings of Poincaré and Hartogs. This paper considers continuous functions defined on the boundary of a bounded domain $ D $ in $ \mathbb C ^ n $, $ n> 1 $, with piecewise-smooth boundary, and having the generalized boundary Morera property along the family of complex lines that intersect the boundary of a domain. Morera property is that the integral of a given function is equal to zero over the intersection of the boundary of the domain with the complex line. It is shown that such functions extend holomorphically to the domain $ D $. For functions of one complex variable, the Morera property obviously does not imply a holomorphic extension. Therefore, this problem should be considered only in the multidimensional case $ (n> 1) $. The main method for studying such functions is the method of multidimensional integral representations, in particular, the Bochner-Martinelli integral representation.

Keywords: bounded domain with piecewise-smooth boundary, continuous function, Morera property, Bochner-Martinelli integral representation
Citation in English: Bulletin of Udmurt University. Mathematics, Mechanics, Computer Science, 2021, vol. 31, issue 1, pp. 50-58

Журнал индексируется в Web of Science (Emerging Sources Citation Index)

Журнал индексируется в Scopus

Журнал входит в базы данных zbMATH, MathSciNet

Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science

Журнал включен в перечень ВАК.

Электронная версия журнала на Общероссийском математическом портале Math-Net.Ru.

Журнал включен в Crossref