Все выпуски

Работа посвящена построению приближенных решений краевых задач в прямоугольнике для нагруженного модифицированного уравнения влагопереноса дробного порядка с оператором Бесселя, выступающих в качестве математических моделей движения влаги и солей в почвах с фрактальной организацией. Построены разностные схемы для дифференциальных задач. Методом энергетических неравенств выведены априорные оценки решений рассматриваемых задач в дифференциальной и разностной трактовках. Из полученных априорных оценок следуют единственность, устойчивость решения по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи к решению соответствующей дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку погрешности аппроксимации. Построен алгоритм численного решения разностных схем, полученных при аппроксимации краевых задач для нагруженного модифицированного уравнения влагопереноса дробного порядка с оператором Бесселя. Проведены численные эксперименты, иллюстрирующие полученные в работе теоретические выкладки.

The paper is devoted to the construction of approximate solutions of boundary value problems in a rectangle for a loaded modified fractional-order moisture transfer equation with the Bessel operator, which act as mathematical models of the movement of moisture and salts in soils with fractal organization. Difference schemes for differential problems are constructed. The method of energy inequalities is used to derive a priori estimates of solutions to the problems under consideration in differential and difference interpretations. The obtained a priori estimates are followed by uniqueness, stability of the solution from the initial data and the right part, as well as convergence of the solution of the difference problem to the solution of the corresponding differential problem with a speed equal to the order of approximation error. An algorithm for the numerical solution of difference schemes obtained by approximating boundary value problems for a loaded modified fractional-order moisture transfer equation with the Bessel operator is constructed.

Изучается начально-краевая задача для многомерного псевдопараболического уравнения с переменными коэффициентами и граничными условиями третьего рода. Многомерное псевдопараболическое уравнение сводится к интегро-дифференциальному уравнению с малым параметром. Показано, что при стремлении малого параметра к нулю решение полученной модифицированной задачи сходится к решению исходной задачи. Для приближенного решения полученной задачи строится локально-одномерная разностная схема А. А. Самарского. Методом энергетических неравенств получена априорная оценка, откуда следуют единственность, устойчивость и сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи. Для двумерной задачи построен алгоритм численного решения начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения с условиями третьего рода.

We study an initial-boundary value problem for a multidimensional pseudoparabolic equation with variable coefficients and boundary conditions of the third kind. The multidimensional pseudoparabolic equation is reduced to an integro-differential equation with a small parameter. It is shown that as the small parameter tends to zero, the solution of the resulting modified problem converges to the solution of the original problem. For an approximate solution of the obtained problem, a locally one-dimensional difference scheme by A. A. Samarsky is constructed. An a priori estimate is obtained by the method of energy inequalities, from which the uniqueness, stability, and convergence of the solution of the locally one-dimensional difference scheme to the solution of the original differential problem follow. For a two-dimensional problem, an algorithm for the numerical solution of the initial-boundary value problem for a pseudoparabolic equation with conditions of the third kind is developed.