Все выпуски

Рассматривается обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского в случае, когда неизвестная функция зависит от двух пространственных переменных. Такой вариант данного уравнения используется в качестве математической модели формирования неоднородного рельефа на поверхности полупроводников под воздействием потока ионов. В работе данное уравнение изучается вместе с однородными краевыми условиями Неймана в трех областях: прямоугольнике, квадрате и равнобедренном треугольнике. Изучен вопрос о локальных бифуркациях при смене устойчивости пространственно однородными состояниями равновесия. Показано, что в данных трех краевых задачах реализуются послекритические бифуркации и в их результате в каждой из трех изучаемых краевых задач бифурцируют пространственно неоднородные решения. Для них получены асимптотические формулы. Выявлена зависимость характера бифуркаций от выбора, геометрии области. В частности, определен вид зависимости от пространственных переменных. Изучен вопрос об устойчивости, в смысле определения А.М. Ляпунова, найденных пространственно неоднородных решений. Анализ бифуркационных задач использовал известные методы теории динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством: интегральных (инвариантных) многообразий, нормальных форм Пуанкаре-Дюлака в сочетании с асимптотическими методами.

The generalized Kuramoto-Sivashinsky equation in the case when the unknown function depends on two spatial variables is considered. This version of the equation is used as a mathematical model of formation of nonhomogeneous relief on a surface of semiconductors under ion beam. This equation is studied along with homogeneous Neumann boundary conditions in three regions: a rectangle, a square, and an isosceles triangle. The problem of local bifurcations in the case when spatially homogeneous equilibrium states change stability is studied. It is shown that for these three boundary value problems post-critical bifurcations occur and, as a result, spatially nonhomogeneous solutions bifurcate in each of these boundary value problems. For them asymptotic formulas are obtained. The dependence of the nature of bifurcations on the choice and geometry of the region is revealed. In particular, the type of dependence on spatial variables is determined. The problem of Lyapunov stability of spatially nonhomogeneous solutions is studied. Well-known methods from dynamical systems theory with an infinite-dimensional phase space: integral (invariant) manifolds, normal Poincare-Dulac forms in combination with asymptotic methods are used to analyze the bifurcation problems.

Рассматриваются процессы образования периодических структур при ионной бомбардировке. В качестве математической модели выбрано двумерное обобщение уравнения Курамото–Сивашинского. Аналогичное уравнение было получено и в работе Бредли–Харпера. С математической точки зрения изрезанный рельеф в результате ионной бомбардировки может быть объясним как локальные бифуркации плоского профиля при смене устойчивости.

Для описания такого рельефа получены асимптотические формулы. Для исследования нелинейной краевой задачи использован метод теории бифуркаций для задач с бесконечномерным фазовым пространством. В частности, использован метод построения нормальных форм, ведущий свое начало от алгоритма Крылова–Боголюбова.

We consider ion-bombardment-induced processes for formation of periodic structures. As a mathematical model, we have chosen the generalized two-dimensional Kuramoto–Sivashinsky equation which is equivalent to the equation obtained by Bradley–Harper. The jagged relief obtained due to ionic bombardment can be explained from a mathematical point of view as local bifurcations of flat profile involving an exchange of stabilities.

To describe the above relief asymptotic formulas are obtained. The bifurcation theory method for problems with infinite dimensional phase space is used to study nonlinear boundary value problem. In particular, we use normal form building which springs from Krylov–Bogolyubov method of averaging.