Все выпуски

Алгоритм понижения порядка обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с использованием оператора инвариантного дифференцирования (ОИД) допускаемой алгебры Ли модифицирован для систем ОДУ с малым параметром, допускающих приближенные алгебры Ли операторов. Приведены инвариантные представления ОДУ второго порядка и систем двух ОДУ второго порядка. Введен ОИД приближенной алгебры Ли. Показано, что можно построить ОИД специального вида, позволяющий получать первый интеграл рассматриваемой системы. Приведены примеры использования алгоритма для случаев полного и неполного наследования алгебры Ли.

The algorithm for the order reduction of ordinary differential equations (ODEs) by using the operator of invariant differentiation (OID) of admitted Lie algebra is modified for systems of ODEs with a small parameter that admit approximate Lie algebras of operators. Invariant representations of second-order ODEs and systems of two second-order ODEs are presented. The OID of approximate Lie algebra is introduced. It is shown that it is possible to construct a special type of OID, which is used for obtaining the first integral of the system considered. Examples of using the algorithm for cases of complete and incomplete inheritance of a Lie algebra are given.

В статье рассматривается аппроксимация функции цены антагонистической дифференциальной игры с критерием, задаваемым условием минимизации некоторой величины вдоль реализовавшейся траектории, решениями стохастических игр с непрерывным временем и моментом остановки, управляемым одним из игроков. Отметим, что если в качестве вспомогательной игры выбрана стохастическая дифференциальная игра, то ее функция цены задается параболическим уравнением второй степени в частных производных с дополнительными ограничениями в форме неравенств, в то время как для случая вспомогательной игры с динамикой, задаваемой марковской цепью, функция цены определяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений с дополнительными ограничениями. Развиваемый в статье метод аппроксимации основан на концепции стохастического поводыря, впервые предложенном в работах Н.Н. Красовского и А.Н. Котельниковой.

The paper is concerned with the approximation of the value function of the zero-sum differential game with the minimal cost, i.e., the differential game with the payoff functional determined by the minimization of some quantity along the trajectory by the solutions of continuous-time stochastic games with the stopping governed by one player. Notice that the value function of the auxiliary continuous-time stochastic game is described by the Isaacs–Bellman equation with additional inequality constraints. The Isaacs–Bellman equation is a parabolic PDE for the case of stochastic differential game and it takes a form of system of ODEs for the case of continuous-time Markov game. The approximation developed in the paper is based on the concept of the stochastic guide first proposed by Krasovskii and Kotelnikova.

Предложен подход к получению точных решений неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных. Показано, что если правая часть уравнения задает поверхность уровня для решения уравнения, то в рамках этого подхода поиск решений рассматриваемого неоднородного уравнения сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ). В противном случае поиск решений уравнения приводит к решению системы ОДУ. Получение системы ОДУ опирается на наличие в рассматриваемом уравнении первых производных от искомой функции. Для уравнений в частных производных, которые явно не содержат первые производные искомой функции, предложена подстановка, позволяющая получить такие члены в уравнении. Чтобы свести исходное уравнение, содержащее первые производные от искомой функции, к системе ОДУ, рассматривается связанная с ним система двух уравнений в частных производных. Первое уравнение системы содержит в левой части частные производные только первого порядка, выбранные из исходного уравнения, в правой части - произвольную функцию, аргументом которой является искомая функция. Второе уравнение содержит члены исходного уравнения, не вошедшие в первое уравнение системы, и правую часть первого уравнения формируемой системы. Решение исходного уравнения сводится к поиску решения первого уравнения полученной системы уравнений в частных производных, обращающего в тождество второе уравнение системы. Такое решение удается найти, используя расширенную систему уравнений характеристик для первого уравнения и произвол в выборе функции из правой части этого уравнения. Описанный подход применен для получения некоторых точных решений уравнения Пуассона, уравнения Монжа-Ампера и уравнения конвекции-диффузии.

An approach to obtaining exact solutions for nonhomogeneous partial differential equations (PDEs) is suggested. It is shown that if the right-hand side of the equation specifies the level surface of a solution of the equation, then, in this approach, the search of solutions of considered nonhomogeneous differential equations is reduced to solving ordinary differential equation (ODE). Otherwise, searching for solutions of the equation leads to solving the system of ODEs. Obtaining a system of ODEs relies on the presence of the first derivatives of the sought function in the equation under consideration. For PDEs, which do not explicitly contain first derivatives of the sought function, substitution providing such terms in the equation is proposed. In order to reduce the original equation containing the first derivative of the sought function to the system of ODEs, the associated system of two PDEs is considered. The first equation of the system contains in the left-hand side only first order partial derivatives, selected from the original equation, and in the right-hand side it contains an arbitrary function, the argument of which is the sought unknown function. The second equation contains terms of the original equation that are not included in the first equation of the system and the right-hand side of the first equation in the system created. Solving the original equation is reduced to finding the solutions of the first equation of the resulting system of equations, which turns the second equation of the system into identity. It has been possible to find such solution using extended system of equations for characteristics of the first equation and the arbitrariness in the choice of function from the right-hand side of the equation. The described approach is applied to obtain some exact solutions of the Poisson equation, Monge-Ampere equation and convection–diffusion equation.

Предлагается алгоритм получения решения уравнений в частных производных с правой частью, заданной на сетке $\{ (x_{1})_{\mu}, (x_{2})_{\mu}, \ldots, (x_{n})_{\mu}\},$ $(\mu=1,2,\ldots,N)\colon f_{\mu}=f((x_{1})_{\mu}, (x_{2})_{\mu}, \ldots, (x_{n})_{\mu}).$ Здесь $n$ — число независимых переменных в исходном уравнении в частных производных, $N$ — число строк в сетке для правой части, $f=f( x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ — правая часть исходного уравнения. Алгоритм реализует редукцию исходного уравнения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (системе ОДУ) с начальными условиями в каждой точке сетки и включает следующую последовательность действий. Ищется решение исходного уравнения, зависящее от одной независимой переменной. Исходному уравнению ставится в соответствие некоторая система соотношений, содержащая произвольные функции и включающая уравнение в частных производных первого порядка. Для уравнения первого порядка выписывается расширенная система уравнений характеристик. Присоединяя к ней остальные соотношения, содержащие произвольные функции, и требуя, чтобы эти соотношения были первыми интегралами расширенной системы уравнений характеристик, приходим к искомой системе ОДУ, завершая редукцию. Предлагаемый алгоритм позволяет в каждой точке сетки находить решение исходного уравнения в частных производных, удовлетворяющее заданным начальным и краевым условиям. Алгоритм применяется для получения решений уравнения Пуассона и уравнения нестационарной осесимметричной фильтрации в точках сетки, на которой заданы правые части соответствующих уравнений.

An algorithm is proposed for obtaining solutions of partial differential equations with right-hand side defined on the grid $\{ x_{1}^{\mu}, x_{2}^{\mu}, \ldots, x_{n}^{\mu}\},\ (\mu=1,2,\ldots,N)\colon f_{\mu}=f(x_{1}^{\mu}, x_{2}^{\mu}, \ldots, x_{n}^{\mu}).$ Here $n$ is the number of independent variables in the original partial differential equation, $N$ is the number of rows in the grid for the right-hand side, $f=f( x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ is the right-hand of the original equation. The algorithm implements a reduction of the original equation to a system of ordinary differential equations (ODE system) with initial conditions at each grid point and includes the following sequence of actions. We seek a solution to the original equation, depending on one independent variable. The original equation is associated with a certain system of relations containing arbitrary functions and including the partial differential equation of the first order. For an equation of the first order, an extended system of equations of characteristics is written. Adding to it the remaining relations containing arbitrary functions, and demanding that these relations be the first integrals of the extended system of equations of characteristics, we arrive at the desired ODE system, completing the reduction. The proposed algorithm allows at each grid point to find a solution of the original partial differential equation that satisfies the given initial and boundary conditions. The algorithm is used to obtain solutions of the Poisson equation and the equation of unsteady axisymmetric filtering at the points of the grid on which the right-hand sides of the corresponding equations are given.