Все выпуски

Пусть $H$ - гильбертово пространство и (необязательно ограниченная) последовательность $\{e_n\}_{n=1}^{\infty}$ его элементов содержит ограниченную подпоследовательность $\{e_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ такую, что $|(e_{n_k},e_{n_m})| \geqslant \alpha > 0$ для любых достаточно больших $k,m \in N, k \neq m$. Доказано, что такая последовательность $\{e_n\}_{n=1}^{\infty}$ не является базисной последовательностью и, следовательно, базисом Шаудера в пространстве $H$. Полученные результаты обобщают и предлагают короткое и более простое доказательство некоторых недавних результатов, полученных в этом направлении.

Let $H$ be a Hilbert space and a (not necessarily bounded) sequence of its elements $\{e_n\}_{n=1}^{\infty}$ has a bounded subsequence $\{e_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ such that $|(e_{n_k},e_{n_m})| \geqslant \alpha > 0$ for all sufficiently large $k,m \in N, k \neq m$. It is proved that such a sequence $\{e_n\}_{n=1}^{\infty}$ is not a basic sequence and thus is not a Schauder basis in $H$. Note that the results of this paper generalize and offer a short and more simple proof of some recent results obtained in this direction.

Рассматривается конструкция расширения абстрактной задачи о достижимости, реализуемая с использованием компакта Стоуна (пространство ультрафильтров алгебры множеств в традиционном оснащении). Исследуются вопросы, связанные с построением множеств притяжения; последние определяют возможности в части достижимости желаемых состояний в топологическом пространстве при использовании асимптотических аналогов обычных решений. Предполагаются заданными ограничения асимптотического характера, которые, в частности, могут возникать при ослаблении стандартных ограничений, используемых в задачах управления (естественным прототипом исследуемой абстрактной задачи может служить задача о построении асимптотического аналога области достижимости управляемой системы при исчезающе малом ослаблении тех или иных ограничений на выбор программного управления). Используя естественную модификацию подхода Дж. Варги, можно ввести наряду с точными так называемые приближенные решения в виде последовательностей обычных решений, соблюдающих с "нарастающей точностью" условия, составляющие в своей совокупности "асимптотические ограничения". В ряде случаев таких (секвенциальных) приближенных решений оказывается недостаточно. Требуются направленности или фильтры. Последние используются в настоящей работе в качестве основного типа (асимптотических по существу) решений при построении множеств притяжения в задачах о достижимости с ограничениями асимптотического характера; более того, в этих построениях удается ограничиться использованием ультрафильтров. Для одного частного случая на этой основе установлена конкретная структура множества притяжения.

The extension construction of the abstract problem of attainability realized with employment of the Stone compactum (the space of ultrafilters in the traditional equipment) is considered. The questions connected with the structure of attraction sets are investigated; these attraction sets define possibilities for attainability of desired states in topological space under employment of asymptotic analogs of usual solutions. Constraints of asymptotic character are given. This constraints can be arising under the weakening of standard constraints used in control theory (the natural prototype of the investigated abstract problem is the problem about the construction of the asymptotic analog of the attainability domain for the control system under vanishingly small weakening of some constraints on the choice of the programmed control). Using the natural modification of Warga approach, we can introduce (along with precise solutions) so-called approximate solutions in the form of sequences of usual solutions satisfying the conditions (realizing in the totality "asymptotic constraints") "with reinforcing exactness". Sometimes, the employment of only such (sequential) approximate solutions can be insufficient. Nets or filters are required. The last objects are used as the basic type of (asymptotic in essence) solutions in this investigation under construction of attraction sets in the attainability problem with constraints of asymptotic character. And what is more, in these constructions, we can confine ourselves to the employment of ultrafilters. For a particular case, on this basis, the concrete structure of attraction set is established.

Рассматривается решение дифференциальной игры сближения-уклонения с использованием метода программных итераций. Основная цель состоит в построении множества позиционного поглощения, соответствующего разбиению пространства позиций игры, отвечающему фундаментальной теореме об альтернативе Н.Н. Красовского, А.И. Субботина. Для построения используется оператор программного поглощения, определяемый целевым множеством в задаче о сближении. Множество, формирующее фазовые ограничения, поэтапно преобразуется упомянутым оператором, реализуя последовательность, предел которой совпадает с множеством позиционного поглощения. Предполагается, что целевое множество замкнуто, а множество, определяющее фазовые ограничения исходной задачи, имеет замкнутые сечения, каждое из которых соответствует фиксации момента времени. Установлены свойства, имеющие смысл односторонней непрерывности множества позиционного поглощения при изменении множеств, определяющих исходную дифференциальную игру. Показано, что предел итерационной процедуры совпадает с множеством успешной разрешимости в классе многозначных обобщенных квазистратегий.

The solution of a differential game of guidance-evasion on the basis of the programmed iterations method is considered. The basic goal consists in the construction of a set of positional absorption corresponding to alternative partition following from the fundamental alternative theorem of N.N. Krasovskii and A.I. Subbotin. For construction, an operator of programmed absorption defined by the target set in a guidance problem is used. The set defining phase constraints is gradually transformed by the above-mentioned operator; therefore, the sequence for which the corresponding limit coincides with the set of positional absorption is realized. It is assumed that the target set is closed and the set defining phase constraints of initial problem has closed sections corresponding to fixation of time. Properties having the sense of one-sided continuity of the positional absorption set under variation of sets defining initial differential game are established. It is shown that the limit of iterated procedure coincides with the set of successful solvability in a class of set-valued generalized quasistrategies.