Все выпуски

Пусть $H$ - гильбертово пространство и (необязательно ограниченная) последовательность $\{e_n\}_{n=1}^{\infty}$ его элементов содержит ограниченную подпоследовательность $\{e_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ такую, что $|(e_{n_k},e_{n_m})| \geqslant \alpha > 0$ для любых достаточно больших $k,m \in N, k \neq m$. Доказано, что такая последовательность $\{e_n\}_{n=1}^{\infty}$ не является базисной последовательностью и, следовательно, базисом Шаудера в пространстве $H$. Полученные результаты обобщают и предлагают короткое и более простое доказательство некоторых недавних результатов, полученных в этом направлении.

Let $H$ be a Hilbert space and a (not necessarily bounded) sequence of its elements $\{e_n\}_{n=1}^{\infty}$ has a bounded subsequence $\{e_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ such that $|(e_{n_k},e_{n_m})| \geqslant \alpha > 0$ for all sufficiently large $k,m \in N, k \neq m$. It is proved that such a sequence $\{e_n\}_{n=1}^{\infty}$ is not a basic sequence and thus is not a Schauder basis in $H$. Note that the results of this paper generalize and offer a short and more simple proof of some recent results obtained in this direction.