Все выпуски

Работа посвящена изучению оценок скалярных произведений векторных полей и их применению при доказательстве разрешимости задач математической физики. В работе доказаны оценки скалярных произведений векторных полей в весовых функциональных пространствах суммируемых функций. В качестве примера применения таких оценок доказана разрешимость задачи об определении стационарного магнитного поля в трёхмерном евклидовом пространстве, содержащем ограниченную проводящую область. Также показана связь предложенной постановки задачи и соответствующей вариационной формулировки. Изучена возможность определения остальных неизвестных функций (электрического поля, объёмной плотности электрических зарядов) внутри проводящей подобласти.

The paper is devoted to studying of estimations of scalar products of vector fields and their application in the proof of solvability for mathematical physics problems. The estimations of scalar products of vector field were proved in weighted functional spaces of summable functions. As an example of the application of such estimations there was proved the solvability for the problem of determination of stationary magnetic field in whole three-dimensional Euclidian space containing bounded conducting domain. The association between the proposed problem statement and the corresponding variational statement was shown too. There was investigated the possibility of determination of another unknown functions (electric field, volume density of electrical charge) inside the conducting domain.

Исследуется обратная задача определения многомерного ядра интегрального члена, зависящего от временной переменной $t$ и $ (n-1)$-мерной пространственной переменной $x'=\left(x_1,\ldots, x_ {n-1}\right)$ из $n$-мерного уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности. Прямую задачу представляет задача Коши для этого уравнения. Интегральный член имеет вид свертки по времени ядра и решения прямой задачи. Дополнительное условие для решения обратной задачи задается решение прямой задачи на гиперплоскости $x_n = 0.$ В начале изучаются свойства решения прямой задачи. Для этого эта задача сводится к решению интегрального уравнения второго порядка вольтерровского типа и к нему применяется метод последовательных приближений. Далее поставленная обратная задача приводится к двум вспомогательным задачам, дополнительное условие второй из них содержит неизвестное ядро вне интеграла. Затем вспомогательные задачи заменяются эквивалентной замкнутой системой интегральных уравнений вольтерровского типа относительно неизвестных функций. Применяя метод сжатых отображений к этой системе в классе гёльдеровских функций доказываем основной результат статьи, который является теоремой локального существования и единственности решения обратной задачи.

The inverse problem of determining a multidimensional kernel of an integral term depending on a time variable $t$ and $ (n-1)$-dimensional spatial variable $x'=\left(x_1,\ldots, x_ {n-1}\right)$ in the $n$-dimensional heat equation with a variable coefficient of thermal conductivity is investigated. The direct problem is the Cauchy problem for this equation. The integral term has the time convolution form of kernel and direct problem solution. As additional information for solving the inverse problem, the solution of the direct problem on the hyperplane $x_n = 0$ is given. At the beginning, the properties of the solution to the direct problem are studied. For this, the problem is reduced to solving an integral equation of the second kind of Volterra-type and the method of successive approximations is applied to it. Further the stated inverse problem is reduced to two auxiliary problems, in the second one of them an unknown kernel is included in an additional condition outside integral. Then the auxiliary problems are replaced by an equivalent closed system of Volterra-type integral equations with respect to unknown functions. Applying the method of contraction mappings to this system in the Hölder class of functions, we prove the main result of the article, which is a local existence and uniqueness theorem of the inverse problem solution.

Проведен численный анализ сопряженной естественной конвекции в пористой среде, насыщенной газом, окруженной твердыми стенками конечной толщины при наличии локального источника тепла. Краевая задач сформулирована в безразмерных переменных "функция тока - вектор завихренности - температура" и решена методом конечных разностей. Установлены масштабы влияние источника тепла, проницаемости внутреннего объема, фактора нестационарности и теплофизических характеристик ограждающих стенок на режимы течения и теплопереноса.

Conjugate natural convection in a porous medium saturated with a gas surrounded by the finite thickness solid walls at presence of a local heat source has been numerically analyzed. Boundary problem has been formulated in dimensionless variables such as "stream function - vorticity vector - temperature" and it has been solved by finite difference method. The effect levels of the heat source, the medium permeability, the transient factor and the heat conductivity of the solid walls on flow patterns and heat transfer modes have been determined.

В настоящей работе сформулирована, поставлена и решена обратная граничная задача теплопроводности, при условии, что коэффициент теплопроводности является кусочно-постоянным. Эта задача занимает важное место в технике, так как теплонагруженные узлы технических конструкций покрывают теплоизолирующим слоем, термические характеристики которого сильно отличаются от термических характеристик самой конструкции. Подобные задачи находят свое применение при планировании стендовых испытаний летательных аппаратов. Современные композитные материалы решают эту проблему, предоставляя разработчикам целый ряд преимуществ. В ракетных двигателях внутреннюю стенку камеры внутреннего сгорания покрывают теплозащитным слоем, который изготавливают из композитных материалов. Благодаря свойствам этих материалов теплозащитный слой значительно снижает температуру стенки внутреннего сгорания. При решении обратной граничной задачи необходимо учитывать разницу коэффициентов теплопроводности составных частей композитных материалов, из которых изготавливают стенку камеры. Задача исследовалась с помощью ряда Фурье по собственным функциям для уравнения с разрывным коэффициентом. Доказано, что для решения обратной задачи применимо преобразование Фурье по переменной времени. Для решения обратной задачи использовано преобразование Фурье, позволяющее свести обратную задачу к операторному уравнению, которое было решено методом невязки.

In the present paper, an inverse boundary value problem of thermal conduction is formulated, posed and solved, provided that the thermal diffusivity is piecewise constant. This task holds a prominent place in technology, since thermally loaded units of technical constructions are covered with a heat insulating layer, the thermal characteristics of which are very different from the thermal characteristics of the structure itself. Such tasks are used in the planning of bench tests of aircraft. Modern composite materials solve this problem, giving developers a number of advantages. In rocket engines, the inner wall of the internal combustion chamber is covered with a heat-shielding layer, which is made of composite materials. Due to the properties of these materials, the heat-shielding layer significantly reduces the temperature of the internal combustion wall. When solving an inverse boundary problem, it is necessary to take into account the difference in the thermal conductivity coefficients of the component parts of composite materials, which make the wall of the chamber. The problem was investigated using a Fourier series in eigenfunctions for an equation with a discontinuous coefficient. It is proved that for the solution of the inverse problem the Fourier transform with respect to $t$ is applicable. To solve the inverse problem, the Fourier transform was used, which made it possible to reduce the inverse problem to the operator equation, which was solved by the discrepancy method.

Рассматривается задача маршрутизации перемещений с ограничениями и усложненными функциями стоимости. Предполагается, что объекты посещения суть мегаполисы (непустые конечные множества), при посещении которых должны выполняться некоторые работы, именуемые далее внутренними. По постановке задачи имеются ограничения в виде условий предшествования. Стоимость перемещений зависит от списка заданий, которые не выполнены на момент перемещения. Ситуация такого рода возникает, в частности, при аварийных ситуациях, связанных с работой АЭС и подобных происходящим в Чернобыле и Фукусиме. Речь идет об утилизации источников радиоактивного излучения, осуществляемой последовательно во времени; в этом случае исполнитель находится под воздействием источников, которые не были демонтированы на момент соответствующего перемещения. За счет этого в функциях стоимости, оценивающих воздействие радиации на исполнителя, возникает зависимость от списка невыполненных заданий. Последние состоят в том или ином варианте выключения соответствующего источника. В настоящем исследовании излагается подход к решению данной задачи параллельным алгоритмом, реализуемым на суперкомпьютере «УРАН».

We consider a routing problem with constraints and complicated cost functions. The visited objects are assumed to be clusters, or megalopolises (nonempty finite sets), and the visit to each of them entails certain tasks, which we call interior jobs. The order of visits is subject to precedence constraints. The costs of movements depend on the set of pending tasks (not yet complete at the time of the movement), which is also referred to as “sequence dependence”, “position dependence”, and “state dependence”. Such a dependence arises, in particular, in routing problems concerning emergencies at nuclear power plants, similar to the Chernobyl and Fukushima Daiichi incidents. For example, one could consider a disaster recovery problem concerned with sequential dismantlement of radiation sources; in this case, the crew conducting the dismantlement is exposed to radiation from the sources that have not yet been dealt with. This gives rise to dependence on pending tasks in the cost functions that measure the crew's radiation exposure. The latter dependence reflects the “shutdown” operations for the corresponding radiation sources. This paper sets forth an approach to a parallel solution for this problem, which was implemented and run on the URAN supercomputer.

Группой симметрии данного дифференциального уравнения называется группа преобразований, которые переводят решения уравнения в решения. Если известны инфинитезимальные образующие группы симметрий, то мы можем находить инвариантные решения относительно этой группы. Для систем уравнений с частными производным группу симметрий можно использовать, чтобы явно найти частные типы решений, которые сами являются инвариантными относительно некоторой подгруппы полной группы симметрий системы. Например, решения уравнения с частными производными от двух независимых переменных, инвариантные относительно заданной однопараметрической группы симметрий, находятся решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Класс инвариантных относительно группы решений включает в себя точные решения, имеющие непосредственное математическое или физическое значения. В работе с помощью известных инфинитезимальных образующих некоторых групп симметрий двумерного уравнения теплопроводности найдены решения, инвариантные относительно этих групп. Сначала рассматривается двумерное уравнение теплопроводности с источником тепловыделения (с источником теплопоглощения), которое описывает процесс распространения тепла на плоской области. Для этого случая найдено семейство точных решений, зависящее от произвольных постоянных. Затем найдены инвариантные решения уравнения теплопроводности без источника тепла и без источника поглощения.

The symmetry group of a given differential equation is the group of transformations that translate the solutions of the equation into solutions. If the infinitesimal generators of symmetry groups are known, then we can find solutions that are invariant under this group. For systems of partial differential equations, the symmetry group can be used to explicitly find particular types of solutions that are themselves invariant under a certain subgroup of the full symmetry group of the system. For example, solutions of an equation with partial derivatives of two independent variables, invariant under a given one-parameter symmetry group, are found by solving a system of ordinary differential equations. The class of solutions that are invariant with respect to a group includes many exact solutions that have immediate mathematical or physical meaning. In this paper, using the well-known infinitesimal generators of some symmetry groups of the two-dimensional heat conduction equation, solutions are found that are invariant with respect to these groups. First we consider the two-dimensional heat conduction equation with a source that describes the process of heat propagation in a flat region. For this case, a family of exact solutions was found, depending on an arbitrary constant. Then invariant solutions of the two-dimensional heat conduction equation without source are found.

Математическое моделирование композиционных материалов играет важную роль в современной технике, а решение и исследование обратных граничных задач теплообмена невозможно без использования систем собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения с разрывными коэффициентами. Одним из важнейших свойств таких систем является их полнота в соответствующих пространствах. Это свойство систем позволяет доказать теоремы существования и единственности как для прямых задач, так и обратных граничных задач теплопроводности, а также обосновать численные методы решения таких задач. В настоящей статье доказана полнота в пространстве $L_2[r_0,r_2]$ задачи Штурма-Лиувилля для дифференциального оператора второго порядка с разрывным коэффициентом. Эта задача возникает при исследовании и решении обратной граничной задачи теплопроводности для полого шара, состоящего из двух шаров с различными коэффициентами температуропроводности. Доказана самосопряженность, инъективность, а также положительная определенность этого оператора.

Mathematical modeling of composite materials plays an important role in modern technology, and the solution and study of inverse boundary value problems of heat transfer is impossible without the use of systems of eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem for the differential equation with discontinuous coefficients. One of the most important properties of such systems is their completeness in the corresponding spaces. This property of systems allows to prove theorems of existence and uniqueness of both direct problems and inverse boundary value problems of thermal conductivity, and also to prove numerical methods of solving such problems. In this paper, we prove the completeness of the Sturm-Liouville problem in the space $L_2[r_0,r_2]$ for a second-order differential operator with a discontinuous coefficient. This problem arises when investigating and solving the inverse boundary problem of thermal conductivity for a hollow ball consisting of two balls with different temperature conductivity coefficients. Self-conjugacy, injectivity, and positive definiteness of this operator are proved.

Последние 15 лет в физической литературе активно изучаются майорановские локализованные состояния (МЛС) и сопутствующие их возникновению явления, такие, как изменение кондактанса и эффект Джозефсона, что обусловлено вероятным применением МЛС при создании квантового компьютера. В статье изучены собственные функции одномерного оператора Боголюбова-де Жена с дельтаобразным потенциалом в нуле, описывающие локализованные состояния с энергией в лакуне спектра (сверхпроводящей щели). Найдены вероятности прохождения в задаче рассеяния для этого оператора, когда энергии близки к границе сверхпроводящей щели. Эти задачи исследовались как для единого на всей прямой сверхпроводящего порядка, определяемого вещественной константой $\Delta,$ так и для сверхпроводящего порядка, определяемого функцией $\Delta \theta (-x)+\Delta e^{i\varphi} \theta (x)$ для $\varphi=0,\pi$ (т.е. для нулевого сверхпроводящего тока и тока, близкого к критическому). Используемый гамильтониан можно рассматривать как простейшую модель перехода Джозефсона. Доказано, что в обоих случаях существуют два МЛС, но лишь при определенных значениях параметров, т.е. МЛС неустойчивы. При этом вероятность прохождения равна нулю в обоих случаях.

For the last 15 years, Majorana bounded states (MBSs) and associated phenomena, such as variation of conductance and the Josephson effect, have been actively studied in the physical literature. Research in this direction is motivated by a highly probable use of MBSs in quantum computing. The article studies the eigenfunctions of the one-dimensional Bogolyubov-de Gennes operator with a delta-shaped potential at zero, describing localized states with energy in the spectral gap (superconducting gap). The transmission probabilities are found in the scattering problem for this operator, when the energies are close to the boundary of the superconducting gap. These problems are studied both for a superconducting order that is the only one on the whole straight line and is defined by the real constant $\Delta,$ and for a superconducting order defined by the function $\Delta\theta(-x)+\Delta e^{i\varphi}\theta(x)$ for $\varphi=0,\pi$ (i.e., for zero superconducting current and for current close to critical). The Hamiltonian used can be considered as the simplest model of the Josephson junction. It is proved that in both cases there are two MBSs, but with certain values of the parameters, i.e., MBSs are unstable. Moreover, the probability of passage is zero in both cases.

В работе рассматривается сингулярное интегральное уравнение типа Вольтерра второго рода, к которому методом тепловых потенциалов редуцируются некоторые граничные задачи теплопроводности в областях с границей, изменяющейся со временем. Особенность такого рода задач заключается в том, что область вырождается в точку в начальный момент времени. Соответственно, отличительной особенностью исследуемого интегрального уравнения является то, что интеграл от ядра, при стремлении верхнего предела интегрирования к нижнему не равен нулю. Данное обстоятельство не позволяет решить данное уравнение методом последовательных приближений. Построено общее решение соответствующего характеристического уравнения и методом равносильной регуляризации Карлемана–Векуа найдено решение полного интегрального уравнения. Показано, что соответствующее однородное интегральное уравнение имеет ненулевое решение.

In this paper, we consider a singular Volterra type integral equation of the second kind, to which some boundary value problems of heat conduction in domains with a boundary varying with time are reduced by the method of thermal potentials. The peculiarity of such problems is that the domain degenerates into a point at the initial moment of time. Accordingly, a distinctive feature of the integral equation under study is that the integral of the kernel, as the upper limit of integration tends to the lower one, is not equal to zero. This circumstance does not allow solving this equation by the method of successive approximations. We constructed the general solution of the corresponding characteristic equation and found the solution of the complete integral equation by the Carleman–Vekua method of equivalent regularization. It is shown that the corresponding homogeneous integral equation has a nonzero solution.

Проведено математическое моделирование конвективно-кондуктивно-радиационного теплообмена в кубической полости, заполненной прозрачной для излучения средой. Анализируемый объект представлял собой замкнутый объем с теплопроводными стенками конечной толщины, имеющими диффузно-серые внутренние поверхности. Внешние поверхности двух вертикальных стенок являлись изотермическими, а остальные внешние грани области решения - адиабатическими. Краевая задача сформулирована в безразмерных переменных «векторный потенциал-вектор завихренности-температура» в приближении Буссинеска и с учетом диатермичности сплошной среды. Анализ радиационного теплообмена проведен с использованием метода сальдо в варианте Поляка. Сформулированная нестационарная краевая задача реализована численно методом конечных разностей в широком диапазоне изменения числа Рэлея, коэффициента теплопроводности материала ограждающих твердых стенок и коэффициента излучения. Получены корреляционные соотношения для средних конвективного и радиационного чисел Нуссельта на характерной внутренней границе раздела сред. Проведено сравнение полученных результатов с данными двумерной модели. Установлено, что при рассмотрении трехмерной задачи можно оценить формирование интенсивных поперечных перетоков среды со стороны двух вертикальных поверхностей, которые отсутствуют в двумерной постановке. Показано, что решение задач конвективно-радиационного теплопереноса в сопряженной постановке приводит к существенным изменениям в распределениях локальных и интегральных характеристик по сравнению с несопряженной моделью, что в первую очередь связано с более корректным описанием механизма теплового излучения в диатермичных средах за счет учета теплопроводности ограждающих твердых стенок.

Mathematical simulation of convective-conductive-radiative heat transfer in a cubical cavity filled with diathermanous medium has been carried out. The domain of interest is a closed volume having heat-conducting solid walls of finite thickness with diffuse grey inner surfaces. The outer surfaces of two vertical walls are isothermal while the other walls are adiabatic. The boundary-value problem has been formulated in dimensionless variables such as “vector potential-vorticity vector-temperature’’ in the Boussinesq approximation and taking into account the diathermancy of the continuous medium. An analysis of surface thermal radiation has been conducted on the basis of the net-radiation method in the form of Poljak. The formulated transient boundary-value problem has been solved by finite difference method in a wide range of the Rayleigh number, thermal conductivity ratio and surface emissivity. Correlations for the average convective and radiative Nusselt numbers at the characteristic internal solid-fluid interface have been obtained. The comparison between the obtained three-dimensional results and the two-dimensional data has been conducted. It has been found, that on the basis of a three-dimensional model it is possible to analyze the formation of intensive transverse flows from two vertical surfaces which are absent in a two-dimensional model. It has been also shown, that the solution of convective-radiative heat transfer problems in the conjugate statement leads to essential changes in distributions of local and integral parameters in comparison with the non-conjugate model, which first of all is related to a more correct description of the thermal radiation in diathermanous media due to taking into account the thermal conduction of the solid walls.