Все выпуски

В статье рассматривается класс линейных систем функционально-дифференциальных уравнений с непрерывным и дискретным временем и дискретной памятью. В рамках этого класса предлагается явное представление для основных составляющих представления общего решения — фундаментальной матрицы и оператора Коши. Полученные представления даются в терминах параметров рассматриваемой системы и открывают возможность эффективного исследования общих краевых задач и задач управления относительно заданной конечной системы линейных целевых функционалов. При исследовании упомянутых задач для систем за пределами изучаемого класса рассматриваемые в работе системы с дискретной памятью могут играть роль модельных или аппроксимирующих систем и оказаться полезными при изучении грубых свойств систем с последействием, сохраняющихся при малых возмущениях параметров.

A class of linear functional differential systems with continuous and discrete times and discrete memory is considered. An explicit representation of the principal components to the general solution representation such as the fundamental matrix and the Cauchy operator is derived. The obtained representation is given in terms of the system parameters and opens a way towards efficient studying general linear boundary value problems and control problems with respect to a fixed collection of linear on-target functionals. In the study of the problems mentioned above outside the class under consideration, the systems with discrete memory can be employed as model or approximating ones. This can be useful as applied to systems with aftereffect under studying rough properties that hold under small perturbations of the parameters.

В статье рассматривается класс линейных систем функционально-дифференциальных уравнений с последействием, непрерывным и дискретным временем и импульсными воздействиями (импульсные гибридные ФДУ). В центре внимания находятся конструкции операторов, позволяющих дать полное описание всех траекторий гибридной системы, и в терминах этих операторов формулировать условия разрешимости задач управления с выбором управлений из различных классов, давать описание (оценки) множеств достижимости при наличии ограничений на управление, а также получать условия разрешимости общих линейных краевых задач. Дается детальное описание всех компонент оператора Коши, изучаются их свойства. Для компонент с непрерывным временем получены условия их непрерывности по второму аргументу, влияющие на возможность выбора класса управляющих воздействий. Упомянутые конструкции систематически используют результаты о матрицах Коши систем ФДУ с непрерывным временем и систем разностных уравнений с дискретным временем.

In this paper, a class of linear functional differential systems with aftereffect, continuous and discrete times, and impulses (impulse hybrid systems) is considered. The focus of attention is on the structure of the Cauchy operator to the hybrid system under consideration and the representation of their components. Those allow one to give the representation of all trajectories of the hybrid system and to formulate conditions of the solvability for control problems in various classes of controls, to obtain estimates of the attainability sets under constrained control, and to study general linear boundary value problems for the solvability. A detailed description of all components to the Cauchy operator is given and their properties are studied. For the components with continuous time, some conditions of the continuity with respect to the second argument are obtained which is related to deciding on a class of controls. The main results are based on constructions of the Cauchy matrices to systems with continuous time and difference systems.

В работе дан обзор проблем, приводящих к необходимости анализа моделей линейных и нелинейных динамических систем в форме стохастических дифференциальных уравнений со случайными запаздываниями различного типа, а также представлены некоторые известные методы решения этих задач. Далее в статье предлагаются новые подходы к приближенному анализу линейных и нелинейных стохастических динамических систем, изменения запаздываний которых описываются дискретной марковской цепью с непрерывным временем. Используемые подходы базируются на сочетании классического метода шагов, расширения пространства состояния стохастической системы и метода статистического моделирования (Монте-Карло). В рассматриваемом случае такой подход позволил упростить задачу и привести исходные уравнения к системам стохастических дифференциальных уравнений без запаздывания. Более того, для линейных систем получена замкнутая последовательность систем обыкновенных дифференциальных уравнений увеличивающейся размерности относительно функций условных математических ожиданий и ковариаций вектора состояния. Изложенная схема демонстрируется на примере стохастической системы второго порядка, изменения запаздывания которой описываются марковской цепью с пятью состояниями. Все расчеты и построение графиков проводились в среде математического пакета Mathematica с помощью программы, написанной на входном языке этого пакета.

The paper provides an overview of the problems that lead to a necessity for analyzing models of linear and nonlinear dynamic systems in the form of stochastic differential equations with random delays of various types as well as some well-known methods for solving these problems. In addition, the author proposes some new approaches to the approximate analysis of linear and nonlinear stochastic dynamic systems. Changes of delays in these systems are governed by discrete Markov chains with continuous time. The proposed techniques for the analysis of systems are based on a combination of the classical steps method, an extension of the state space of a stochastic system under examination, and the method of statistical modeling (Monte Carlo). In this case the techniques allow to simplify the task and to transfer the source equations to systems of stochastic differential equations without delay. Moreover, for the case of linear systems the author has obtained a closed sequence of systems with increasing dimensions of ordinary differential equations satisfied by the functions of conditional expectations and covariances for the state vector. The above scheme is demonstrated by the example of a second-order stochastic system. Changes of the delay in this system are controlled by the Markov chain with five states. All calculations and graphics were performed in the environment of the mathematical package Mathematica by means of a program written in the source language of the package.