Все выпуски

Работа посвящена вопросу об абсолютной непрерывности спектра двумерного обобщенного периодического оператора Шрёдингера $H_g+V=-\nabla g\nabla+V$, где непрерывная положительная функция $g$ и скалярный потенциал $V$ имеют общую решетку периодов $Λ$. Решения уравнения $(H_g+V)\varphi=0$ определяют, в частности, электрическое и магнитное поля для электромагнитных волн, распространяющихся в двумерных фотонных кристаллах. При этом функция $g$ и скалярный потенциал $V$ выражаются через диэлектрическую проницаемость $\varepsilon$ и магнитную проницаемость $\mu$ ($V$ также зависит от частоты электромагнитной волны). Диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$ может быть разрывной функцией (и обычно выбирается кусочно-постоянной), поэтому возникает задача об ослаблении известных условий гладкости для функции $g$, обеспечивающих абсолютную непрерывность спектра оператора $H_g+V$. В настоящей работе предполагается, что коэффициенты Фурье функций $g^{\pm\frac12}$ при некотором $q\in[1, \frac43)$ удовлетворяют условию $\sum\left(|N|^\frac12\left|\left(g^{\pm\frac12}\right)_N\right|\right)^q<+\infty$ и скалярный потенциал $V$ имеет нулевую грань относительно оператора $-Δ$ в смысле квадратичных форм. Пусть $K$ - элементарная ячейка решетки $Λ$, $K^*$ - элементарная ячейка обратной решетки $\Lambda^*$. Оператор $H_g+V$ унитарно эквивалентен прямому интегралу операторов $H_g(k)+V$, где $k$ - квазиимпульс из $2\pi K^*$, действующих в $L^2(K)$. Последние операторы можно также рассматривать при комплексных векторах $k+ik'\in \mathbb{C}^2$. В статье используется метод Томаса. Доказательство абсолютной непрерывности спектра оператора $H_g+V$ сводится к доказательству обратимости операторов $H_g(k+ik')+V-\lambda$, $\lambda\in \mathbb{R}$, при определенным образом выбираемых комплексных векторах $k+ik'\in \mathbb{C}^2$ (зависящих от $g$, $V$ и числа $\lambda$) с достаточно большой мнимой частью $k'$.

The paper is concerned with the problem of absolute continuity of the spectrum of the two-dimensional generalized periodic Schrodinger operator $H_g+V=-\nabla g\nabla+V$ where the continuous positive function $g$ and the scalar potential $V$ have a common period lattice $\Lambda$. The solutions of the equation $(H_g+V)\varphi=0$ determine, in particular, the electric field and the magnetic field of electromagnetic waves propagating in two-dimensional photonic crystals. The function $g$ and the scalar potential $V$ are expressed in terms of the electric permittivity $\varepsilon$ and the magnetic permeability $\mu$ ($V$ also depends on the frequency of the electromagnetic wave). The electric permittivity $\varepsilon$ may be a discontinuous function (and usually it is chosen to be piecewise constant) so the problem to relax the known smoothness conditions on the function $g$ that provide absolute continuity of the spectrum of the operator $H_g+V$ arises. In the present paper we assume that the Fourier coefficients of the functions $g^{\pm\frac12}$ for some $q\in[1, \frac43)$ satisfy the condition $\sum\left(|N|^\frac12\left|\left(g^{\pm\frac12}\right)_N\right|\right)^q<+\infty$, and the scalar potential $V$ has relative bound zero with respect to the operator $-\Delta$ in the sense of quadratic forms. Let $K$ be the fundamental domain of the lattice $\Lambda$, and assume that $K^*$ is the fundamental domain of the reciprocal lattice $\Lambda^*$. The operator $H_g+V$ is unitarily equivalent to the direct integral of operators $H_g(k)+V$, with quasimomenta $k\in 2\pi K^*$, acting on the space $L^2(K)$. The last operators can be also considered for complex vectors $k+ik'\in \mathbb{C}^2$. We use the Thomas method. The proof of absolute continuity of the spectrum of the operator $H_g+V$ amounts to showing that the operators $H_g(k+ik')+V-\lambda$, $\lambda\in \mathbb{R}$, are invertible for some appropriately chosen complex vectors $k+ik'\in \mathbb{C}^2$ (depending on $g$, $V$, and the number $\lambda$) with sufficiently large imaginary parts $k'$.

В последнее десятилетие в физической литературе активно изучается новый класс материалов - топологические изоляторы. Топологические изоляторы обладают интересными физическими свойствами, в частности практически нулевым сопротивлением, и, как ожидается, могут найти применения в микроэлектронике. В отличие от обычных металлов и полупроводников электрон в топологическом изоляторе описывается не оператором (гамильтонианом) Шрёдингера, а безмассовым оператором Дирака. Такие операторы в квазиодномерных структурах (например, в полосках с различными граничными условиями) весьма интересны с математической точки зрения, но до сих пор недостаточно изучены математиками. В данной статье рассматривается гамильтониан Дирака для топологического изолятора несколько более общего вида, а именно при наличии слоя ферромагнетика. Описан спектр такого оператора, найдена его функция Грина (ядро резольвенты), а также указан вид его (обобщенных) собственных функций.

In the last decade, a new class of materials - topological insulators - is extensively studied in the physics literature. Topological insulators have remarkable physical properties, in particular, near-zero resistance, and are expected to be applied in microelectronics. Unlike conventional metals and semiconductors, an electron in topological insulators is described not by the Schrodinger operator (Hamiltonian), but by the massless Dirac operator. Such operators in quasi-one-dimensional structures (for example, strips with different boundary conditions) are very interesting from a mathematical point of view, but they are not well studied by mathematicians yet. This article discusses the Dirac Hamiltonian of a topological insulator of somewhat more general form, namely in the presence of a ferromagnetic layer. The spectrum of such an operator is described; its Green's function (the kernel of the resolvent) and (generalized) eigenfunctions are established.