Все выпуски

Исследуется задача мультипликативного управления для стационарной диффузионно-дрейфовой модели зарядки полярного диэлектрика. Роль управления играет старший коэффициент в уравнении модели, имеющий смысл коэффициента диффузии электронов. Глобальная разрешимость краевой задачи и локальная единственность ее решения, а также разрешимость экстремальной задачи доказана в предыдущих работах авторов. В настоящей работе для задачи управления выводится система оптимальности и устанавливаются условия локальной регулярности множителя Лагранжа. На основе анализа данной системы доказывается локальная единственность решения задачи мультипликативного управления для конкретных функционалов качества.

The multiplicative control problem for a stationary diffusion-drift model of charging a polar dielectric is studied. The role of control is played by a leading coefficient in the model equation, which has the meaning of the electron diffusion coefficient. The global solvability of the boundary value problem and the local uniqueness of its solution, as well as the solvability of the extremum problem under consideration, have been proved in the previous papers of the authors. In this paper, an optimality system is derived for the control problem and local regularity conditions for the Lagrange multiplier are established. Based on the analysis of this system, the local uniqueness of the multiplicative control problem's solution for specific cost functionals is proved.

Функция Кобаяши-Грея-Такаги $\widetilde{T}(x)$ введена Кобаяши в 2002 году для вычисления цифровых сумм в кодировке Грея. Эта функция по конструкции аналогична описанной в 1903 году функции Такаги. Как и функция Такаги, функция Кобаяши-Грея-Такаги всюду непрерывна, но нигде не дифференцируема на числовой оси. В работе доказано, что глобальный максимум функции Кобаяши-Грея-Такаги равен $8/15$, причем на отрезке $[0;2]$ он достигается в тех и только тех точках интервала $(0;1)$, $16$-ричная запись которых содержит лишь цифры $4$ или $8$. Показано также, что глобальный минимум $\widetilde{T} (x)$ равен $-8/15$ и на отрезке $[0;2]$ достигается в тех и только тех точках интервала $(1;2)$, $16$-ричная запись которых содержит лишь цифры $7$ или $\langle11\rangle$. Кроме того, на отрезке $[1/2;1]$ вычислен глобальный минимум функции Кобаяши-Грея-Такаги, равный $-2/15$. Найдены глобальные экстремумы и точки экстремума функции $\log_2 x+\widetilde{T} (x)/x$. С помощью полученных результатов из формулы Кобаяши для цифровых сумм в кодировке Грея выведена точная оценка для этих сумм.

The Gray Takagi function $\widetilde{T}(x)$ was defined by Kobayashi in 2002 for calculation of Gray code digital sums. By construction, the Gray Takagi function is similar to the Takagi function, described in 1903. Like the Takagi function, the Gray Takagi function of Kobayashi is continuous, but nowhere differentiable on the real axis. In this paper, we prove that the global maximum for the Gray Takagi function of Kobayashi is equal to $8/15$, and on the segment $[0;2]$ it is reached at those and only those points of the interval $(0;1)$, whose hexadecimal record contains only digits $4$ or $8$. We also show that the global minimum of $\widetilde{T}(x)$ is equal to $-8/15$, and on the segment $[0;2]$ it is reached at those and only those points of the interval $(1;2)$, whose hexadecimal record contains only digits $7$ or $\langle11\rangle$. In addition, we calculate the global minimum of the Gray Takagi function on the segment $[1/2;1]$ and get the value $-2/15$. We find global extrema and extreme points of the function $\log_2 x + \widetilde{T} (x)/x$. By using the results obtained, we get the best estimation of Gray code digital sums from Kobayashi's formula.

Рассматривается одна «неаддитивная» задача маршрутизации перемещений, являющаяся обобщением известной задачи «на узкие места». Предполагается заданным параметр в виде положительного числа, степень которого определяет вес соответствующего этапа системы перемещений. Варьированием параметра можно сделать доминирующими начальные или, напротив, финальные этапы перемещения. Вариант агрегирования стоимостей с упомянутыми весами соответствует идейно постановке задачи «на узкие места», но открывает возможности исследования новых постановок задач маршрутизации с ограничениями. Предполагается, однако, что постановка осложнена зависимостью стоимостей от списка заданий и включает ограничения в виде условий предшествования. Кроме того, в интересах оптимизации допускается произвольный выбор начального состояния из заданного априори множества. Для построения решения используется аппарат широко понимаемого динамического программирования. Исследуется возможность реализации глобального экстремума с любой степенью точности в условиях, когда множество возможных начальных состояний не является конечным.

We consider one non-additive routing problem, which is a generalization of the well-known “bottleneck problem”. The parameter is assumed to be a positive number, the degree of which determines the weight of the corresponding stage of the displacement system. By varying the parameter, it is possible to make the initial or, on the contrary, the final stages of displacement dominant. The variant of aggregation of values with the above-mentioned weights corresponds to the ideological formulation of the “bottleneck problem”, but opens the possibility of investigating new versions of routing problems with constraints. It is assumed, however, that the statement of the problem is complicated by the dependence of values on the list of tasks and includes restrictions in the form of precedence conditions. In addition, in the interest of optimization, an arbitrary choice of the initial state from a given a priori set is allowed. For the construction, the apparatus of widely understood dynamic programming is used. The possibility of realizing a global extremum with any degree of accuracy under conditions when the set of possible initial states is not finite is investigated.

Рассматривается усложненный вариант задачи маршрутизации «на узкие места», а именно: исследуется задача последовательного обхода мегаполисов с условиями предшествования. Предполагается, что функции стоимости, а также «текущие» ограничения на выбор перемещений зависят от списка заданий, не выполненных на данный момент времени. Предложен вариант широко понимаемого динамического программирования, в рамках которого не предусматривается (при наличии условий предшествования) построение всего массива значений функции Беллмана; конструируются специальные слои упомянутой функции, реализующие в своей совокупности частичный (это способствует снижению вычислительной сложности) массив ее значений. На этой основе предлагается алгоритм определения значения задачи (глобального экстремума), при компьютерной реализации которого в памяти всякий раз находится только один слой функции Беллмана; найденное значение может использоваться при тестировании эвристик. Построен и реализован на ПЭВМ также оптимальный алгоритм «полного» решения маршрутной задачи, в рамках которого на этапе построения маршрута и трассы используются уже все слои функции Беллмана.

A complicated variant of the “bottleneck problem” is considered, namely: the problem of sequential visiting of megalopolises with preceding constraints. It is supposed that costs functions and “current” constraints with respect to displacements selection depend on the tasks list which is not completed at the moment. The variant of widely understood dynamic programming is proposed, it doesn't foresee (with preceding conditions) construction of the whole array of the Bellman function values; the special layers of this function realizing in its totality the partial array of its values are constructed (it helps to decrease the calculation complexity). An algorithm of the problem value (global extremum) calculation is proposed, the computer realization of which implies the existence of only one layer of the Bellman function in a memory of computer; the obtained value may be used for the heuristics testing. The optimal algorithm of “complete” solving of the route problem is constructed, within which all layers of the Bellman function are used at the route and trace constructing.