Все выпуски

Рассматривается процедура встраивания оптимизируемых фрагментов маршрутных решений в глобальные решения «большой» задачи, определяемые эвристическими алгоритмами. Постановка задачи маршрутизации учитывает некоторые особенности инженерной задачи о последовательной резке деталей, имеющих каждая один внешний и, возможно, несколько внутренних контуров. Последние должны подвергаться резке раньше внешнего, что приводит к большому числу условий предшествования. Данные условия активно используются в интересах снижения сложности вычислений. Тем не менее размерность задачи остается достаточно большой, что, в частности, не позволяет применять «глобальное» динамическое программирование и вынуждает к использованию эвристических алгоритмов (исследуемая задача относится к числу труднорешаемых в традиционном понимании). Поэтому представляет интерес разработка методов коррекции решений, получаемых на основе упомянутых алгоритмов. В настоящей работе такая коррекция реализуется посредством замены фрагментов (упомянутых решений), имеющих умеренную размерность, оптимальными «блоками», конструируемыми на основе динамического программирования с локальными условиями предшествования, которые согласуются с ограничениями исходной «большой» задачи. Предлагаемая замена не ухудшает, а, в типичных случаях, улучшает качество исходного «эвристического» решения, что подтверждается вычислительным экспериментом на многоядерной ПЭВМ.

Предложенный алгоритм реализован в итерационном режиме: полученное после первой вставки на основе динамического программирования решение в виде пары «маршрут-трасса» принимается за исходное, для которого вновь конструируется вставка. При этом начало этой новой вставки выбирается случайно в пределах, определяемых возможностями формирования скользящего «окна» ощутимой, но все же достаточной для применения экономичной версии динамического программирования размерности. Далее процедура повторяется. Работа итерационного алгоритма иллюстрируется решением модельных задач, включая варианты с достаточно плотной «упаковкой» заготовок деталей на листе, что типично для машиностроительного производства.

The article is concerned with the procedure of insertion of optimizable fragments of route solutions into the global solutions of the «big» problem defined by heuristic algorithms. Setting of the route problem takes into account some singularities of the engineering problem about the sequential cutting of details each having one exterior and probably several interior contours. The latter ones must be subjected to cutting previously in comparison with the exterior contour, which leads to a great number of given preceding conditions. These conditions are actively used to decrease the computational complexity. Nevertheless, the problem dimensionality remains sufficiently large that does not permit to use “global’’ dynamic programming and forces heuristic algorithms to be used (the problem under investigation is a hard-solvable problem in the traditional sense). Therefore, it is interesting to develop the methods for correction of solutions based on the above-mentioned algorithms. In the present investigation, such correction is realized by the replacement of fragments (of the above-mentioned solutions) having a moderate dimensionality by optimal “blocks’’ constructed by dynamic programming with local preceding conditions which are compatible with the constraints of the initial “big’’ problem. The proposed replacement does not deteriorate, but, in typical cases, improves the quality of the initial heuristic solution. This is verified by the computing experiment on multi-core computer.

The proposed algorithm is realized in the iterated regime: the solution (in the form of “route-trace’’) obtained after the first insertion on the basis of dynamic programming is taken as an initial solution for which the insertion is constructed again. In addition, the beginning of the new insertion is chosen randomly in the bounds defined by the possibilities of formation of a sliding “window’’ of the appreciable dimensionality which is in fact sufficient for the employment of the economical version of dynamic programming. Further, the procedure is repeated. The operation of the iterated algorithm is illustrated by solution of model problems including the versions with sufficiently dense “packing’’ of parts on a sheet, which is typical for the engineering production.

Рассматривается задача последовательного обхода мегаполисов с ограничениями в виде условий предшествования и (внутренними) работами, выполняемыми в пределах мегаполисов. Особенностью является то, что стоимости внешних перемещений и внутренних работ явным образом зависят от списка заданий. Построен метод итераций с элементами декомпозиции совокупного решения, задаваемого в виде пары «маршрут-трасса».

The problem of sequential megalopolis circuit with constraints in the form of preceding conditions and (interior) works realized in the megalopolises is considered. The singularity is a dependence of costs of exterior permutations and interior works on the task list. The iteration method with elements of decompositions of the joint solution defined as a pair «route-trace» is constructed.

В работе исследуются нелокальные краевые задачи со смещением и разрывными условиями сопряжения на линии изменения типа для модельного нагруженного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа. В параболической области уравнение представляет собой уравнение дробной диффузии, в гиперболической - характеристически нагруженное волновое уравнение. Единственность решения исследуемых задач при определенных условиях на коэффициенты задачи доказывается методом Трикоми. Существование решения задач сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода относительно следа искомого решения на линии изменения типа. Однозначная разрешимость интегрального уравнения следует из единственности решения задач. После решения интегрального уравнения решение задач сводится к решению первой краевой задачи для уравнения дробной диффузии в параболической области и решению задачи Коши для неоднородного волнового уравнения в гиперболической. Выписаны формулы представления решений исследуемых задач в параболической и гиперболической областях.

The paper deals with non-local boundary-value problems with shift and discontinuous conjugation conditions in the line of type changing for a model loaded hyperbolic-parabolic type equation. The parabolic domain presents a fractional diffusion equation while the hyperbolic one presents a characteristically loaded wave equation. The uniqueness of the solution to the considered problems under certain conditions on the coefficients is proved by the Tricomi method. The existence of the solution involves solving the Fredholm integral equation of the second kind with respect to the trace of the sought solution in the line of type changing. The unique solvability of the integral equation implies the uniqueness of the solution to the problems. Once the integral equation is solved, the solution to the problems is reduced to solving the first boundary value problem for the fractional diffusion equation in the parabolic domain and the Cauchy problem for the inhomogeneous wave equation in the hyperbolic one. In addition, representation formulas are written out for solving the problems under study in the parabolic and hyperbolic domains.

Рассматривается маршрутная задача о посещении сечений мультифункций с ограничениями в виде условий предшествования. Кроме того, по постановке предусматривается выполнение некоторых "работ" на упомянутых сечениях. Каждое решение определяется в виде упорядоченной пары, компоненты которой имеют смысл маршрута (перестановки индексов) и трассы (траектории) перемещений по сечениям мультифункций. Согласование трассы и маршрута реализуется на основе процедур последовательного выбора упорядоченных пар (пунктов прибытия и отправления) из декартовых "квадратов" сечений мультифункций, занумерованных в соответствии с маршрутом. Агрегирование стоимостей предполагается аддитивным; совокупный критерий включает стоимости (внешних) перемещений между сечениями мультифункций, внутренних "работ" и финального состояния. При построении расширения основной задачи, порождающего используемую далее функцию Беллмана, применяется эквивалентное преобразование ограничений: допустимость маршрутов по предшествованию заменяется допустимостью по вычеркиванию (заданий из списка), что соответствует варианту ограничений на текущие перемещения с одного множества на другое. Получен аналог уравнения Беллмана в виде процедуры преобразования слоёв функции Беллмана. Операция, определяющая данное преобразование, используется далее для построения эвристических алгоритмов, реализованных на ПЭВМ.

The route problem about visiting of multifunction sections with constraints of type of preceding conditions is considered. By setting of this problem the fulfilment of works on the above-mentioned sections is provided. Any solution is defined in the form of the ordered pair for which components have the sense of the route (the index permutation) and the trace (trajectory) of the movements with respect to sections of multifunctions. The agreement of the trace and route is realized by procedures of the sequential choice of ordered pairs (the point of arrival and the starting point) of Descartes "squares" of the multifunction sections numbered in correspondence with a route. The cost aggregation is presupposed additive; the total criterion includes the costs of (exterior) movements between sections of multifunctions, interior works, and the final state. Under constructing of extension of the basic problem that realizes the used Bellman function, the equivalent transformation of constraints is applied: admissibility of routes by preceding is replaced onto admissibility by deletion of tasks (of the list) that corresponds to the constraints variant with respect to the current movements from one set onto another. An analog of the Bellman equation realized by procedure of the transformation of layers of Bellman function is obtained. The operation defining this transformation is further used for constructing of heuristic algorithms realized on PC.

Рассматривается задача последовательного обхода мегаполисов с ограничениями в виде условий предшествования и функциями стоимости, допускающими зависимость от списка заданий. Постановки такого типа могут, в частности, возникать в атомной энергетике при исследовании вопросов, связанных со снижением облучаемости работников при перемещении в радиационных полях с целью выполнения комплекса работ, связанных с демонтированием излучающих элементов. Другое применение разрабатываемых в работе методов связано с важной инженерной задачей о маршрутизации движения инструмента при листовой резке на машинах с числовым программным управлением. Последняя задача имеет, как правило, достаточно большую размерность и большое число условий предшествования: у деталей, имеющих не только внешний, но один или несколько внутренних контуров (простейший пример - шайба), резка последних должна осуществляться раньше, чем резка внешнего контура (в роли мегаполисов здесь выступают конечные множества, располагаемые вблизи соответствующих контуров). Возможная зависимость функций стоимости от списка заданий может в данном случае отражать те или иные технологические условия. Подчеркнем, что ощутимая размерность, характеризуемая совокупностью всех контуров, подлежащих резке, приводит к необходимости использования эвристик, а потому вопросы, касающиеся хотя бы локального улучшения решений, представляются достаточно важными для исследования.

Основное внимание в работе уделяется построению оптимизирующих вставок в усложненных условиях: требуется редуцировать фрагмент условий предшествования и трансформировать соответствующие функции стоимости; в последнем случае важно сохранить в надлежащей форме зависимость от списка заданий. Оба упомянутых обстоятельства учитываются при построении процедуры, имеющей смысл алгоритма на функциональном уровне.

The problem of sequential circuit of megalopolises with precedence conditions and cost functions that permit a dependence on tasks list is considered. Such problems can arise, in particular, in atomic energetic while investigating the questions connected with lowering of workers irradiation under permutations in radiative fields for realization of services connected with division of radiating elements. Another application of the developed methods is connected with important engineering problem of routing the instrument movements under the leaf cutting on numerically controlled machines. This problem has sufficiently large dimensionality and many precedence conditions: if a detail has not only exterior but at least one interior contours (the simplest example is a washer) then the interior contours must be cut before the cutting of exterior contour (finite sets located near corresponding contours are used as megalopolises). In this case the possible dependence of cost functions on tasks list can reflect various technological conditions. We note that perceptible dimensionality characterized by all contours in total leads to necessity of heuristics employment. Therefore, questions concerning at least local improvement of solutions appear sufficiently important for the investigation.

The basic attention in the article is devoted to the construction of optimizing insertions in complicated conditions: it is required to reduce the fragment of precedence conditions and to transform the corresponding cost functions; in the last case, it is important to preserve the dependence on tasks list. Both above-mentioned moments are taken into account under the procedure construction having the sense of algorithm on functional level.

Рассматривается усложненный вариант задачи маршрутизации «на узкие места», а именно: исследуется задача последовательного обхода мегаполисов с условиями предшествования. Предполагается, что функции стоимости, а также «текущие» ограничения на выбор перемещений зависят от списка заданий, не выполненных на данный момент времени. Предложен вариант широко понимаемого динамического программирования, в рамках которого не предусматривается (при наличии условий предшествования) построение всего массива значений функции Беллмана; конструируются специальные слои упомянутой функции, реализующие в своей совокупности частичный (это способствует снижению вычислительной сложности) массив ее значений. На этой основе предлагается алгоритм определения значения задачи (глобального экстремума), при компьютерной реализации которого в памяти всякий раз находится только один слой функции Беллмана; найденное значение может использоваться при тестировании эвристик. Построен и реализован на ПЭВМ также оптимальный алгоритм «полного» решения маршрутной задачи, в рамках которого на этапе построения маршрута и трассы используются уже все слои функции Беллмана.

A complicated variant of the “bottleneck problem” is considered, namely: the problem of sequential visiting of megalopolises with preceding constraints. It is supposed that costs functions and “current” constraints with respect to displacements selection depend on the tasks list which is not completed at the moment. The variant of widely understood dynamic programming is proposed, it doesn't foresee (with preceding conditions) construction of the whole array of the Bellman function values; the special layers of this function realizing in its totality the partial array of its values are constructed (it helps to decrease the calculation complexity). An algorithm of the problem value (global extremum) calculation is proposed, the computer realization of which implies the existence of only one layer of the Bellman function in a memory of computer; the obtained value may be used for the heuristics testing. The optimal algorithm of “complete” solving of the route problem is constructed, within which all layers of the Bellman function are used at the route and trace constructing.

В статье рассмотрено параболо-гиперболическое уравнение с сингулярным коэффициентом и спектральным параметром в области, состоящей из характеристического треугольника и полуполосы. Сформулирована задача с нелокальным условием, связывающим значения искомой функции в точках двух граничных характеристик и линии изменения типа уравнения с помощью двух операторов, один из которых зависит от коэффициента сингулярности, а другой — от спектрального параметра. Поставленная задача исследована сведением ее к системе уравнений относительно следа искомой функции и еe производной по $x$ на линии изменения типа уравнения. Единственность решения доказана с использованием метода интегралов энергии, при этом использованы интегральные представления гамма-функции Эйлера и функции Бесселя первого рода. Существование решения задачи доказано методом интегральных уравнений, при этом поставленная задача эквивалентно сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, разрешимость которого следует из единственности решения задачи. Выявлены достаточные условия, которые обеспечивают однозначную разрешимость поставленной задачи.

In the paper, a parabolic-hyperbolic equation with a singular coefficient and a spectral parameter in the domain which consists of a characteristic triangle and a half strip has been considered. A nonlocal problem connecting the values of the desired function at the two points of boundary characteristics and the line of equation type changing by means of two operators, the first of which depends on the coefficient of the singularity and the second one - on the spectral parameters, is formulated. The considered problem is investigated by reducing it to the system of equations in the trace of the desired function and its derivative with respect to $x$ on the line of equation type changing. The uniqueness of the solution is proved by the method of energy integrals, for this we use integral representations of Euler gamma-function and Bessel function of the first kind. The existence of the solution is proved by the method of integral equations, for this we equivalently reduce the considered problem to the Fredholm integral equation of the second kind which solvability follows from the uniqueness of the problem solution. Sufficient conditions for unique solvability of the considered problem are found.