Все выпуски

Сформулированы теоремы о существовании решений, оценках решений и корректной разрешимости уравнений с накрывающими отображениями в произведении метрических пространств. Рассмотрены условия накрывания оператора Немыцкого в функциональных пространствах. Утверждения о накрывающих отображениях применяются к исследованию управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, не разрешенными относительно производной искомой функции. Получены условия существования решений и их оценки, а также исследован вопрос непрерывной зависимости решений от параметров управляемых систем дифференциальных уравнений со смешанными ограничениями на управление и дополнительным ограничением на производную решения.

Theorems on solvability, estimates of solutions, and well-posed solvability of equations with covering mappings in the product of metric spaces are formulated. Conditions for the Nemytskii operator to be a covering operator in functional spaces are considered. Statements about covering mappings are applied to studying the controlled systems described by ordinary differential equations unsolved for the derivative. For controlled differential systems with mixed constraints on control and an additional constraint on the solution's derivative, conditions of solvability are received as well as solutions' estimates, the question of continuous dependence of solutions on parameters is investigated.

Рассматривается аналог метода Стеффенсена для решения нелинейных операторных уравнений. Предложенный метод представляет собой двухшаговый итерационный процесс. Исследуется сходимость рассматриваемого метода, доказывается единственность решения, а также определяется порядок сходимости нового метода. Показывается, что предложенная модификация метода Стеффенсена, не использующая производных оператора, имеет порядок сходимости больше, чем порядок сходимости метода Ньютона, известных обобщений метода хорд или других известных модификаций метода Стеффенсена. Метод прилагается к системам нелинейных уравнений. В качестве примера рассматривается задача о пересечении кривых. Проводятся численные эксперименты на четырех тестовых системах, результаты сравниваются с результатами, полученными методом Ньютона, модифицированным методом Ньютона, а также модификациями метода Вегстейна и метода Эйткена, предложенными автором в предыдущих работах.

We consider an analogue of Steffensen's method for solving nonlinear operator equations. The proposed method is a two-step iterative process. We study the convergence of the proposed method, prove the uniqueness of the solution and find the order of convergence. The proposed method uses no derivative operators. The convergence order is greater than that in Newton's method and some generalizations of the method of chords and Aitken-Steffensen's method. The method is applied to some test systems of nonlinear equations and the problem of curves intersection which are defined implicitly as solutions of differential equations. Numerical results are compared with the results obtained by Newton's method, the modified Newton method, and modifications of Wegstein's and Aitken's methods which were proposed by the author in previous works.