Все выпуски

По теореме Хьюитта–Марчевского–Пондишери тихоновское произведение $2^\omega$ сепарабельных пространств сепарабельно. Мы продолжаем исследовать проблему существования в тихоновском произведении $\prod\limits_{\alpha\in 2^\omega}X_\alpha$ сепарабельных пространств плотного счетного подмножества, не содержащего нетривиальных сходящихся последовательностей. Мы говорим, что последовательность $\lambda=\{x_n\colon n\in\omega\}$ является простой, если для каждого $x_n\in\lambda$ множество $\{n'\in\omega\colon x_{n'}=x_n\}$ конечно. Мы доказываем, что в произведении $\{Z_\alpha\colon\alpha\in 2^\omega\}$ сепарабельных пространств, где всякое $Z_\alpha$ $(\alpha\in\omega)$ содержит простую несходящуюся последовательность, есть счетное плотное множество $Q\subseteq\prod\limits_{\alpha\in 2^\omega}Z_\alpha$, которое не содержит нетривиальных сходящихся в $\prod\limits_{\alpha\in 2^\omega}Z_\alpha$ последовательностей.

By the Hewitt–Marczewski–Pondiczery theorem, the Tychonoff product of $2^\omega$ separable spaces is separable. We continue to explore the problem of the existence in the Tychonoff product $\prod\limits_{\alpha\in 2^\omega}Z_\alpha$ of $2^\omega$ separable spaces a dense countable subset, which does not contain non-trivial convergent sequences. We say that a sequence $\lambda=\{x_n\colon n\in\omega\}$ is simple, if, for every $x_n\in\lambda$, a set $\{n'\in\omega\colon x_{n'}=x_n\}$ is finite. We prove that in the product of separable spaces $\prod\limits_{\alpha\in 2^\omega}Z_\alpha$, such that $Z_\alpha$ $(\alpha\in 2^\omega)$ contains a simple nonconvergent sequence, there is a countable dense set $Q\subseteq\prod\limits_{\alpha\in 2^\omega}Z_\alpha$, which does not contain non-trivial convergent in $\prod\limits_{\alpha\in 2^\omega}Z_\alpha$ sequences.

В предыдущей работе автора определено параметрическое семейство конечномерных пространств специальных квадратичных сплайнов лагранжевого типа. В каждом пространстве в качестве решения начально-граничной задачи для простейшего волнового уравнения предложен оптимальный сплайн, дающий наименьшую невязку. Для коэффициентов этого сплайна и для его невязки получены точные формулы. Формула для коэффициентов сплайна представляет собой линейную форму от исходных конечных разностей. Формула для невязки представляет собой положительно определенную квадратичную форму от этих же величин, однако из-за своей громоздкости она плохо приспособлена для анализа качества аппроксимации исходной задачи при варьировании параметрами.

Получено альтернативное представление для невязки, представляющее собой положительно определенную квадратичную форму от новых конечных разностей, заданных на границе. Элементы матрицы формы выражаются через многочлены Чебышёва, матрица обратима и такова, что обратная матрица имеет трехдиагональный вид. Эта особенность позволяет получить для спектра матрицы верхние и нижние оценки, не зависящие от размерности N. Данное обстоятельство позволяет провести исследование на качество аппроксимации для разных размерностей N и весовых коэффициентов ω∈[-1,1]. Показано, что наилучшее приближение дает параметр ω=0, а невязка стремится к нулю с ростом N.

In the previous paper of the author the parameter family of finite-dimensional spaces of special quadratic splines of Lagrange's type has been defined. In each space, as a solution to the initial-boundary problem for the simplest wave equation, we have proposed the optimal spline, which gives the smallest residual. We have obtained exact formulas for coefficients of this spline and its residual. The formula for coefficients of this spline is a linear form of initial finite differences. The formula for the residual is a positive definite quadratic form of these quantities, but because of its bulkiness it is ill-suited for analyzing of the approximation quality of the input problem at the variation with the parameters.

For the purposes of the present paper, we have obtained an alternative representation for the residual, which is the positive definite quadratic form of the new finite differences defined on the boundary. The elements of the matrix of form are expressed in terms of Chebyshev's polynomials, the matrix is invertible and the inverse matrix has a tridiagonal form. This feature allows us to obtain, for the spectrum of the matrix, upper and lower bounds that are independent of the dimension N. Said fact allows us to make a study of the quality of approximation for different dimensions N and weights ω∈[-1,1]. It is shown that the parameter ω=0 gives the best approximation and the residual tends to zero as N increasing.

В предыдущей работе авторов определено параметрическое семейство конечномерных пространств специальных квадратичных сплайнов лагранжевого типа. В каждом пространстве в качестве решения начально-граничной задачи для простейшего уравнения теплопроводности предложен оптимальный сплайн, дающий наименьшую невязку. Для коэффициентов этого сплайна и для его невязки получены точные формулы. Формула для коэффициентов сплайна представляет собой линейную форму от исходных конечных разностей. Формула для невязки представляет собой положительно определенную квадратичную форму от этих же величин, однако из-за своей громоздкости она плохо приспособлена для анализа качества аппроксимации исходной задачи при варьировании параметрами.

Получено альтернативное представление для невязки, представляющее собой сумму двух положительно определенных квадратичных форм от новых конечных разностей, заданных на границе. Матрица первой формы имеет второй порядок и очевидный спектр. Элементы второй матрицы порядка N + 1 выражаются через многочлены Чебышева, матрица обратима и такова, что обратная матрица имеет трехдиагональный вид. Эта особенность позволяет получить для спектра матрицы верхние и нижние оценки, не зависящие от размерности N. Данное обстоятельство позволяет провести исследование на качество аппроксимации для разных размерностей N и весовых коэффициентов ω ∈ [−1, 1]. Показано, что наилучшее приближение дает параметр ω = 0, а невязка стремится к нулю с ростом N.

In the previous paper of the authors the parameter family of finite-dimensional spaces of special quadratic splines of Lagrange’s type has been defined. In each space, as a solution to the initial-boundary problem for the simplest heat conduction equation, we have proposed the optimal spline, which gives the smallest residual. We have obtained exact formulas for coefficients of this spline and its residual. The formula for coefficients of this spline is a linear form of initial finite differences. The formula for the residual is a positive definite quadratic form of these quantities, but because of its bulkiness it is ill-suited for analyzing of the approximation quality of the input problem at the variation with the parameters.

For the purposes of the present paper, we have obtained an alternative representation for the residual, which is the sum of two positive definite quadratic forms of the new finite differences defined on the boundary. The matrix of the first form has second order and the apparent spectrum. The elements of the second matrix of order N + 1 are expressed in terms of Chebyshev’s polynomials, the matrix is invertible and the inverse matrix has a tridiagonal form. This feature allows us to obtain, for the spectrum of the matrix, upper and lower bounds that are independent of the dimension N. Said fact allows us to make a study of the quality of approximation for different dimensions N and weights ω ∈ [−1, 1]. It is shown that the parameter ω = 0 gives the best approximation and the residual tends to zero as N increasing.