Точное решение одной задачи оптимизации, порожденной простейшим волновым уравнением

 pdf (230K)

В предыдущей работе автора определено параметрическое семейство конечномерных пространств специальных квадратичных сплайнов лагранжевого типа. В каждом пространстве в качестве решения начально-граничной задачи для простейшего волнового уравнения предложен оптимальный сплайн, дающий наименьшую невязку. Для коэффициентов этого сплайна и для его невязки получены точные формулы. Формула для коэффициентов сплайна представляет собой линейную форму от исходных конечных разностей. Формула для невязки представляет собой положительно определенную квадратичную форму от этих же величин, однако из-за своей громоздкости она плохо приспособлена для анализа качества аппроксимации исходной задачи при варьировании параметрами.

Получено альтернативное представление для невязки, представляющее собой положительно определенную квадратичную форму от новых конечных разностей, заданных на границе. Элементы матрицы формы выражаются через многочлены Чебышёва, матрица обратима и такова, что обратная матрица имеет трехдиагональный вид. Эта особенность позволяет получить для спектра матрицы верхние и нижние оценки, не зависящие от размерности N. Данное обстоятельство позволяет провести исследование на качество аппроксимации для разных размерностей N и весовых коэффициентов ω∈[-1,1]. Показано, что наилучшее приближение дает параметр ω=0, а невязка стремится к нулю с ростом N.

Ключевые слова: интерполяция, аппроксимирующий сплайн, многочлены Чебышёва
Цитата: Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2014, вып. 1, с. 141-152
DOI: 10.20537/vm140112

Exact solution of optimization task generated by simplest wave equation

In the previous paper of the author the parameter family of finite-dimensional spaces of special quadratic splines of Lagrange's type has been defined. In each space, as a solution to the initial-boundary problem for the simplest wave equation, we have proposed the optimal spline, which gives the smallest residual. We have obtained exact formulas for coefficients of this spline and its residual. The formula for coefficients of this spline is a linear form of initial finite differences. The formula for the residual is a positive definite quadratic form of these quantities, but because of its bulkiness it is ill-suited for analyzing of the approximation quality of the input problem at the variation with the parameters.

For the purposes of the present paper, we have obtained an alternative representation for the residual, which is the positive definite quadratic form of the new finite differences defined on the boundary. The elements of the matrix of form are expressed in terms of Chebyshev's polynomials, the matrix is invertible and the inverse matrix has a tridiagonal form. This feature allows us to obtain, for the spectrum of the matrix, upper and lower bounds that are independent of the dimension N. Said fact allows us to make a study of the quality of approximation for different dimensions N and weights ω∈[-1,1]. It is shown that the parameter ω=0 gives the best approximation and the residual tends to zero as N increasing.

Keywords: interpolation, approximate spline, Chebyshev's polynomials
Citation in English: Bulletin of Udmurt University. Mathematics, Mechanics, Computer Science, 2014, issue 1, pp. 141-152

Журнал индексируется в Web of Science (Emerging Sources Citation Index)

Журнал индексируется в Scopus

Журнал входит в базы данных zbMATH, MathSciNet

Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science

Журнал включен в перечень ВАК.

Электронная версия журнала на Общероссийском математическом портале Math-Net.Ru.

Журнал включен в Crossref