Все выпуски

Рассматриваются некоторые задачи теории оптимального фуражирования, а именно, задачи выбора популяцией хищника участка, пригодного для питания, и нахождения условий ухода из него. Динамика взаимодействия хищника и жертвы задается системой Лотки-Вольтерры, в которой учтена внутривидовая конкуренция особей жертвы и возможность миграции особей хищника и жертвы. В процессах взаимодействия и миграции участвуют некоторые доли популяций. Решается задача нахождения оптимальных с точки зрения равновесия по Нэшу долей. При этом получено разбиение фазового пространства системы на области с различным поведением популяций. Исследуются оптимальные траектории соответствующей динамической системы с переменной структурой, их поведение на границах разбиения фазового пространства. Найдены положения равновесия и доказана их глобальная устойчивость при определенных ограничениях на параметры системы. В одном из случаев взаимоотношения между параметрами исследование качественного поведения оптимальных траекторий приводит к задаче о существовании предельных циклов. При этом дана оценка соответствующей области притяжения равновесия.

Some problems of the theory of optimal foraging are considered, namely, the problem of predator's choice of the most suitable patch and finding conditions for leaving it. The dynamics of the interaction between the predator and the prey is determined by the Lotka-Volterra system, which takes into account the intraspecific competition of the prey and the possibility of migration of the predator and the prey. Some fractions of populations participate, in the processes of interaction and migration. The problem of finding optimal shares from the point of view of Nash equilibrium is solved. In this case, a partition of the phase space of the system into domains with different behavior of the populations was obtained. We study the optimal trajectories of the corresponding dynamical system with a variable structure, their behavior on the boundaries of the phase space partition. The equilibrium positions are found and their global stability is proved under certain restrictions on the system parameters. In one of the cases of the relationship between the parameters, the study of the qualitative behavior of the optimal trajectories gives rise to the problem of the existence of limit cycles. In this case, an estimate of the corresponding domain of attraction of equilibrium is given.

Рассматривается модель популяции, подверженной промыслу, в которой размеры промысловых заготовок являются случайными величинами. При отсутствии эксплуатации развитие популяции описывается логистическим уравнением $\dot x =(a-bx)x,$ где коэффициенты $a$ и $b$ являются показателями роста популяции и внутривидовой конкуренции соответственно, а в моменты времени $\tau_k=kd$ из популяции извлекается некоторая случайная доля ресурса $\omega_k,$ $k=1,2,\ldots.$ Предполагаем, что имеется возможность влиять на процесс сбора ресурса таким образом, чтобы остановить заготовку в том случае, когда ее доля окажется достаточно большой (больше некоторого значения $u_k\in (0,1)$ в момент $\tau_k$), чтобы сохранить возможно больший остаток ресурса для увеличения размера следующего сбора. Исследуется задача оптимального способа эксплуатации популяции $\bar u=(u_1,\dots,u_k,\dots),$ при котором добываемый ресурс постоянно восстанавливается и значение средней временной выгоды можно оценить снизу по возможности наибольшим числом. Показано, что при недостаточном ограничении доли добываемого ресурса значение средней временной выгоды может равняться нулю для всех или для почти всех значений случайных параметров. Рассматривается также следующая задача: пусть задано значение $u\in(0,1),$ которым мы ограничиваем случайную долю ресурса $\omega_k,$ добываемого из популяции в моменты времени $\tau_k$, $k=1,2,\ldots.$ Требуется найти минимальное время между соседними изъятиями, необходимое для восстановление ресурса, чтобы можно было производить добычу до тех пор, пока доля извлеченного ресурса не достигнет значения $u$.

We consider the model of population subject to a craft, in which sizes of the trade preparations are random variables. In the absence of operation the population development is described by the logistic equation $\dot x = (a-bx) x,$ where coefficients $a $ and $b $ are indicators of growth of population and intraspecific competition respectively, and in time moments $ \tau_k=kd$ some random share of a resource $\omega_k,$ $k=1,2, \ldots,$ is taken from population. We assume that there is a possibility to exert influence on the process of resource gathering so that to stop preparation in the case when its share becomes big enough (more than some value $u_k\in (0,1)$ in the moment $\tau_k$) in order to keep the biggest possible rest of a resource and to increase the size of next gathering. We investigate the problem of an optimum way to control population $ \bar u = (u_1, \dots, u_k, \dots)$ at which the extracted resource is constantly renewed and the value of average time profit can be lower estimated by the greatest number whenever possible. It is shown that at insufficient restriction of a share of the extracted resource the value of average time profit can be equaled to zero for all or almost all values of random parameters. We also consider the following problem: let a value $u\in (0,1)$ be given, by which we limit a random share of a resource $ \omega_k, $ extracted from population in time moments $\tau_k,$ $k=1,2, \ldots .$ It is required to find minimum time between neighboring withdrawals, necessary for resource renewal, in order to make it possible to do extractions until the share of the taken resource does not reach the value $u$.