Все выпуски

В данной работе изучаются прямая начально-краевая задача и обратная задача определения коэффициента одномерного уравнения в частных производных со многими дробными производными Римана–Лиувилля. Исследована однозначная разрешимость прямой задачи и получены априорные оценки ее решения в весовых пространствах, которые будут использованы при изучении обратной задачи. Далее обратная задача эквивалентно сводится к нелинейному интегральному уравнению. Для доказательства однозначной разрешимости этого уравнения используется принцип неподвижной точки.

This work studies direct initial boundary value and inverse coefficient determination problems for a one-dimensional partial differential equation with multi-term orders fractional Riemann–Liouville derivatives. The unique solvability of the direct problem is investigated and a priori estimates for its solution are obtained in weighted spaces, which will be used for studying the inverse problem. Then, the inverse problem is equivalently reduced to a nonlinear integral equation. The fixed-point principle is used to prove the unique solvability of this equation.

Работа посвящена исследованию разрешимости обратной краевой задачи с неизвестным коэффициентом и правой частью, зависящей от времени, для линеаризованного уравнения Бенни-Люка с несамосопряженными краевыми и с дополнительными интегральными условиями. Задача рассматривается в прямоугольной области. Дается определение классического решения поставленной задачи. Сначала рассматривается вспомогательная обратная краевая задача и доказывается ее эквивалентность (в определенном смысле) исходной задаче. Для исследования вспомогательной обратной краевой задачи сначала используется метод разделения переменных. После применения формальной схемы метода разделения переменных решение прямой краевой задачи (при заданной неизвестной функции) сводится к решению задачи с неизвестными коэффициентами. После этого решение задачи сводится к решению некоторой счетной системы интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных коэффициентов. В свою очередь, последняя система относительно неизвестных коэффициентов записывается в виде одного интегро-дифференциального уравнения относительно искомого решения. Затем, используя соответствующие дополнительные условия обратной вспомогательной краевой задачи, для определения неизвестных функций получаем систему двух нелинейных интегральных уравнений. Таким образом, решение вспомогательной обратной краевой задачи сводится к системе из трех нелинейных интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций. Строится конкретное банахово пространство. Далее, в шаре из построенного банахова пространства с помощью сжатых отображений доказывается разрешимость системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, которая также является единственным решением вспомогательной обратной краевой задачи. С использованием эквивалентности задач доказывается существование и единственность классического решения исходной задачи.

The paper investigates the solvability of an inverse boundary-value problem with an unknown coefficient and the right-hand side, depending on the time variable, for the linearized Benney-Luke equation with non-self-adjoint boundary and additional integral conditions. The problem is considered in a rectangular domain. A definition of the classical solution of the problem is given. First, we consider an auxiliary inverse boundary-value problem and prove its equivalence (in a certain sense) to the original problem. To investigate the auxiliary inverse boundary-value problem, the method of separation of variables is used. By applying the formal scheme of the variable separation method, the solution of the direct boundary problem (for a given unknown function) is reduced to solving the problem with unknown coefficients. Then, the solution of the problem is reduced to solving a certain countable system of integro-differential equations for the unknown coefficients. In turn, the latter system of relatively unknown coefficients is written as a single integro-differential equation for the desired solution. Next, using the corresponding additional conditions of the inverse auxiliary boundary-value problem, to determine the unknown functions, we obtain a system of two nonlinear integral equations. Thus, the solution of an auxiliary inverse boundary-value problem is reduced to a system of three nonlinear integro-differential equations with respect to unknown functions. A special type of Banach space is constructed. Further, in a ball from a constructed Banach space, with the help of contracted mappings, we prove the solvability of a system of nonlinear integro-differential equations, which is also the unique solution to the auxiliary inverse boundary-value problem. Finally, using the equivalence of these problems the existence and uniqueness of the classical solution of the original problem are proved.

В работе исследована одна обратная краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка с дополнительным интегральным условием первого рода. Для рассматриваемой обратной краевой задачи вводится определение классического решения. С помощью метода Фурье задача сводится к решению системы интегральных уравнений. С помощью метода сжатых отображений доказывается существование и единственность решения системы интегральных уравнений. Далее доказывается существование и единственность классического решения исходной задачи.

An inverse boundary value problem for the second order elliptic equation with an additional integral condition of the first kind is investigated. We introduce the definition of a classical solution for the considered inverse boundary value problem reduced to solving of the system of integral equations by the use of the Fourier method. First, the existence and uniqueness of solutions of the system of integral equations are proved by using the method of contraction mappings; and then the existence and uniqueness of classical solutions of the original problem are proved.

В настоящей работе сформулирована, поставлена и решена обратная граничная задача теплопроводности, при условии, что коэффициент теплопроводности является кусочно-постоянным. Эта задача занимает важное место в технике, так как теплонагруженные узлы технических конструкций покрывают теплоизолирующим слоем, термические характеристики которого сильно отличаются от термических характеристик самой конструкции. Подобные задачи находят свое применение при планировании стендовых испытаний летательных аппаратов. Современные композитные материалы решают эту проблему, предоставляя разработчикам целый ряд преимуществ. В ракетных двигателях внутреннюю стенку камеры внутреннего сгорания покрывают теплозащитным слоем, который изготавливают из композитных материалов. Благодаря свойствам этих материалов теплозащитный слой значительно снижает температуру стенки внутреннего сгорания. При решении обратной граничной задачи необходимо учитывать разницу коэффициентов теплопроводности составных частей композитных материалов, из которых изготавливают стенку камеры. Задача исследовалась с помощью ряда Фурье по собственным функциям для уравнения с разрывным коэффициентом. Доказано, что для решения обратной задачи применимо преобразование Фурье по переменной времени. Для решения обратной задачи использовано преобразование Фурье, позволяющее свести обратную задачу к операторному уравнению, которое было решено методом невязки.

In the present paper, an inverse boundary value problem of thermal conduction is formulated, posed and solved, provided that the thermal diffusivity is piecewise constant. This task holds a prominent place in technology, since thermally loaded units of technical constructions are covered with a heat insulating layer, the thermal characteristics of which are very different from the thermal characteristics of the structure itself. Such tasks are used in the planning of bench tests of aircraft. Modern composite materials solve this problem, giving developers a number of advantages. In rocket engines, the inner wall of the internal combustion chamber is covered with a heat-shielding layer, which is made of composite materials. Due to the properties of these materials, the heat-shielding layer significantly reduces the temperature of the internal combustion wall. When solving an inverse boundary problem, it is necessary to take into account the difference in the thermal conductivity coefficients of the component parts of composite materials, which make the wall of the chamber. The problem was investigated using a Fourier series in eigenfunctions for an equation with a discontinuous coefficient. It is proved that for the solution of the inverse problem the Fourier transform with respect to $t$ is applicable. To solve the inverse problem, the Fourier transform was used, which made it possible to reduce the inverse problem to the operator equation, which was solved by the discrepancy method.

В работе исследована обратная краевая задача с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени, для одного уравнения Буссинеска четвертого порядка с нелокальными интегральными по времени условиями второго рода. Дается определение классического решения поставленной задачи. Суть задачи состоит в том, что требуется вместе с решением определить неизвестный коэффициент. Задача рассматривается в прямоугольной области. При решении исходной обратной краевой задачи осуществляется переход от исходной обратной задачи к некоторой вспомогательной обратной задаче. С помощью сжатых отображений доказываются существование и единственность решения вспомогательной задачи. Затем вновь производится переход к исходной обратной задаче, в результате делается вывод о разрешимости исходной обратной задачи.

This paper is concerned with an inverse boundary value problem for a Boussinesq type equation of fourth order with nonlocal time integral conditions. The definition of a classical solution of the problem is introduced. The goal of this paper is to determine the unknown coefficient and to solve the problem of interest. The problem is considered in a rectangular domain. To investigate the solvability of the inverse problem, we perform a conversion from the original problem to some auxiliary inverse problem with trivial boundary conditions. By the contraction mapping principle we prove the existence and uniqueness of solutions of the auxiliary problem. Then we make a conversion to the stated problem again and, as a result, we obtain the solvability of the inverse problem.

Математическое моделирование композиционных материалов играет важную роль в современной технике, а решение и исследование обратных граничных задач теплообмена невозможно без использования систем собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения с разрывными коэффициентами. Одним из важнейших свойств таких систем является их полнота в соответствующих пространствах. Это свойство систем позволяет доказать теоремы существования и единственности как для прямых задач, так и обратных граничных задач теплопроводности, а также обосновать численные методы решения таких задач. В настоящей статье доказана полнота в пространстве $L_2[r_0,r_2]$ задачи Штурма-Лиувилля для дифференциального оператора второго порядка с разрывным коэффициентом. Эта задача возникает при исследовании и решении обратной граничной задачи теплопроводности для полого шара, состоящего из двух шаров с различными коэффициентами температуропроводности. Доказана самосопряженность, инъективность, а также положительная определенность этого оператора.

Mathematical modeling of composite materials plays an important role in modern technology, and the solution and study of inverse boundary value problems of heat transfer is impossible without the use of systems of eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem for the differential equation with discontinuous coefficients. One of the most important properties of such systems is their completeness in the corresponding spaces. This property of systems allows to prove theorems of existence and uniqueness of both direct problems and inverse boundary value problems of thermal conductivity, and also to prove numerical methods of solving such problems. In this paper, we prove the completeness of the Sturm-Liouville problem in the space $L_2[r_0,r_2]$ for a second-order differential operator with a discontinuous coefficient. This problem arises when investigating and solving the inverse boundary problem of thermal conductivity for a hollow ball consisting of two balls with different temperature conductivity coefficients. Self-conjugacy, injectivity, and positive definiteness of this operator are proved.

В этой статье рассматриваются обратные задачи для уравнения гиперболического вида четвертого порядка с инволюцией. Существование и единственность решения изучаемых обратных задач устанавливается методом разделения переменных. Для применения метода разделения переменных доказываем базисность Рисса собственных функций дифференциального оператора четвертого порядка с инволюцией в пространстве ${{L}_{2}}(-1,1)$. При доказательстве теорем о существовании и единственности решения широко используем неравенство Бесселя для коэффициентов разложений в ряд Фурье в пространстве ${{L}_{2}}(-1,1)$. Показана существенная зависимость существования решения от коэффициента уравнения $\alpha$. В каждом из случаев $\alpha <-1$, $\alpha >1$, $-1<\alpha <1$ выписаны представления решений в виде рядов Фурье по собственным функциям краевых задач для уравнения четвертого порядка с инволюцией.

This article considers inverse problems for a fourth-order hyperbolic equation with involution. The existence and uniqueness of a solution of the studied inverse problems is established by the method of separation of variables. To apply the method of separation of variables, we prove the Riesz basis property of the eigenfunctions for a fourth-order differential operator with involution in the space ${{L}_{2}}(-1,1)$. For proving theorems on the existence and uniqueness of a solution, we widely use the Bessel inequality for the coefficients of expansions into a Fourier series in the space ${{L}_{2}}(-1,1)$. A significant dependence of the existence of a solution on the equation coefficient $\alpha$ is shown. In each of the cases $\alpha <-1$, $\alpha >1$, $-1<\alpha<1$ representations of solutions in the form of Fourier series in terms of eigenfunctions of boundary value problems for a fourth-order equation with involution are written out.

Статья посвящена решению обратной граничной задачи для стержня, состоящего из композиционных материалов. В обратной задаче требуется, используя информацию о температуре теплового потока в разделе сред, определить температуру на одном из концов стержня. В работе представлен метод проекционной регуляризации, который позволил приближенно оценить погрешность полученного решения обратной задачи. Для проверки вычислительной эффективности этого метода были проведены тестовые расчеты.

The article is devoted to solving an inverse boundary value problem for a rod consisting of composite materials. In the inverse problem, it is required, using information about the temperature of the heat flow in the media section, to determine the temperature at one of the ends of the rod. The paper presents a method of projection regularization, which made it possible to approximately estimate the error of the obtained solution to the inverse problem. To check the computational efficiency of this method, test calculations were carried out.

В пространстве $R^l$, $l\geq 2$, рассматриваются преобразования типа инволюции. Исследуются свойства матриц этих преобразований. Определена структура рассматриваемой матрицы и доказано, что матрица этих преобразований определяется элементами первой строки. Доказана также симметричность исследуемой матрицы. Кроме того, в явном виде найдены собственные векторы и собственные значения рассматриваемой матрицы. Найдена также обратная матрица и доказано, что обратная матрица имеет такую же структуру, как и основная матрица. В качестве приложений рассматриваемых преобразований введены и изучены свойства нелокального аналога оператора Лапласа. Для соответствующего нелокального уравнения Пуассона в единичном шаре исследованы вопросы разрешимости краевых задач Дирихле и Неймана. Доказана теорема об однозначной разрешимости задачи Дирихле, построены явный вид функции Грина и интегральное представление решения, а также найден порядок гладкости решения задачи в классе Гёльдера. Найдены также необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Неймана, явный вид функции Грина и интегральное представление.

Transformations of the involution type are considered in the space $R^l$, $l\geq 2$. The matrix properties of these transformations are investigated. The structure of the matrix under consideration is determined and it is proved that the matrix of these transformations is determined by the elements of the first row. Also, the symmetry of the matrix under study is proved. In addition, the eigenvectors and eigenvalues of the matrix under consideration are found explicitly. The inverse matrix is also found and it is proved that the inverse matrix has the same structure as the main matrix. The properties of the nonlocal analogue of the Laplace operator are introduced and studied as applications of the transformations under consideration. For the corresponding nonlocal Poisson equation in the unit ball, the solvability of the Dirichlet and Neumann boundary value problems is investigated. A theorem on the unique solvability of the Dirichlet problem is proved, an explicit form of the Green's function and an integral representation of the solution are constructed, and the order of smoothness of the solution of the problem in the Hölder class is found. Necessary and sufficient conditions for the solvability of the Neumann problem, an explicit form of the Green's function, and the integral representation are also found.

Решение краевой задачи для простейшего волнового уравнения, заданной в прямоугольнике, допускает представление в виде суммы двух слагаемых. Они являются решениями двух краевых задач: в первом случае граничные функции постоянны, а во втором начальные функции имеют специальный вид. Подобная декомпозиция позволяет применять для численного решения обеих задач двумерные сплайны. Первая задача исследована ранее, получен экономичный алгоритм ее численного решения.
Для решения второй задачи определено конечномерное пространство сплайнов лагранжевого типа, а в качестве решения предложен оптимальный сплайн, дающий наименьшую невязку. Для коэффициентов этого сплайна и для его невязки получены точные формулы. Формула для коэффициентов сплайна представляет собой линейную форму от исходных конечных разностей, заданных на границе.
Формула для невязки представляет собой сумму двух простых слагаемых и двух положительно определенных квадратичных форм от новых конечных разностей, заданных на границе. Элементы матриц форм выражаются через многочлены Чебышёва, обе матрицы обратимы и таковы, что обратные к ним матрицы имеют трехдиагональный вид. Эта особенность позволяет получить для спектра матриц верхние и нижние оценки и показать, что невязка стремится к нулю с ростом размерности численной задачи. Данное обстоятельство обеспечивает корректность предлагаемого алгоритма численного решения второй задачи, обладающего линейной сложностью вычислений.

The solution of a boundary value problem for a simple wave equation defined on a rectangle can be represented as a sum of two terms. They are solutions of two boundary value problems: in the first case, the boundary functions are constant, while in the second the initial functions have a special form. Such decomposition allows to apply two-dimensional splines for the numerical solution of both problems. The first problem was studied previously, and an economical algorithm of its numerical solution was developed.
To solve the second problem we define a finite-dimensional space of splines of Lagrangian type, and recommend an optimal spline giving the smallest residual as a solution. We obtain exact formulas for the coefficients of this spline and its residual. The formula for the coefficients of this spline is a linear form of initial finite differences defined on the boundary.
The formula for the residual is a sum of two simple terms and two positive definite quadratic forms of new finite differences defined on the boundary. Elements of matrices of forms are expressed through Chebyshev polynomials, both matrices are invertible and have the property that their inverses matrices are of tridiagonal form. This feature allows us to obtain upper and lower bounds for the spectrum of matrices, and to show that the residual tends to zero when the numerical problem dimension increases. This fact ensures the correctness of the proposed algorithm of numerical solution of the second problem which has linear computational complexity.