Все выпуски

В первой части определено и исследовано нелинейное метрическое пространство $\langle\overline{\rm G}^\infty[a,b],d\rangle$, состоящее из функций, действующих из отрезка $[a,b]$ в расширенную числовую ось $\overline{\mathbb R}$. По определению предполагается, что для любых $x\in\overline{\rm G}^\infty[a,b]$ и $t\in(a,b)$ существуют предельные числа $x(t-0),x(t+0)\in\overline{\mathbb R}$ (и числа $x(a+0),x(b-0)\in\overline{\mathbb R}$). Доказана полнота пространства. Оно является замыканием пространства ступенчатых функций в метрике $d$. Во второй части работы определено и исследовано нелинейное пространство ${\rm RL}[a,b]$. Всякая кусочно-гладкая функция, определенная на $[a,b]$, содержится в ${\rm RL}[a,b]$. Всякая функция $x\in{\rm RL}[a,b]$ имеет ограниченное изменение. Для нее определены все односторонние производные (со значениями в метрическом пространстве $\langle\overline{\mathbb R},\varrho\rangle$). Функция левосторонних производных непрерывна слева, а функция правосторонних производных непрерывна справа. Обе функции, доопределенные на весь отрезок $[a,b]$, принадлежат пространству $\overline{\rm G}^\infty[a,b]$. В заключительной части работы определены и исследованы два подпространства пространства ${\rm RL}[a,b]$. В подпространствах сформулированы и обсуждены перспективные постановки для простейших вариационных задач.

In the first part of the paper, the nonlinear metric space $\langle\overline{\rm G}^\infty[a,b],d\rangle$ is defined and studied. It consists of functions defined on the interval $[a,b]$ and taking the values in the extended numeric axis $\overline{\mathbb R}$. For any $x\in\overline{\rm G}^\infty[a,b]$ and $t\in(a,b)$ there are limit numbers $x(t-0),x(t+0) \in\overline{\mathbb R}$ (and numbers $x(a+0),x(b-0)\in\overline{\mathbb R}$). The completeness of the space is proved. It is the closure of the space of step functions in the metric $d$. In the second part of the work, the nonlinear space ${\rm RL}[a,b]$ is defined and studied. Every piecewise smooth function defined on $[a,b]$ is contained in ${\rm RL}[a,b]$. Every function $x\in{\rm RL}[a,b]$ has bounded variation. All one-sided derivatives (with values in the metric space $\langle\overline{\mathbb R},\varrho\rangle$) are defined for it. The function of left-hand derivatives is continuous on the left, and the function of right-hand derivatives is continuous on the right. Both functions extended to the entire interval $[a,b]$ belong to the space $\overline{\rm G}^\infty[a,b]$. In the final part of the paper, two subspaces of the space ${\rm RL}[a,b]$ are defined and studied. In subspaces, promising formulations for the simplest variational problems are stated and discussed.

В данной статье исследуется проблема устойчивости в вариации решений неавтономных дифференциальных уравнений. Представлены некоторые новые достаточные условия асимптотической или экспоненциальной устойчивости для некоторых классов нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений, использующие функции Ляпунова, которые не обязательно являются гладкими. Предлагаемый подход для анализа устойчивости основан на определении границ, характеризующих асимптотическую сходимость решений к некоторому замкнутому множеству, содержащему начало координат. Кроме того, приведены некоторые иллюстративные примеры, демонстрирующие справедливость основных результатов.

In this paper, we investigate the problem of stability in variation of solutions for nonautonomous differential equations. Some new sufficient conditions for the asymptotic or exponential stability for some classes of nonlinear time-varying differential equations are presented by using Lyapunov functions that are not necessarily smooth. The proposed approach for stability analysis is based on the determination of the bounds that characterize the asymptotic convergence of the solutions to a certain closed set containing the origin. Furthermore, some illustrative examples are given to prove the validity of the main results.

Критически обсуждаются различные способы определения иррегулярных и регулярных сил в звездных системах. Наиболее удовлетворительным кажется определение Эддингтона, согласно которому регулярная сила - это сила притяжения сплошной гравитирующей среды, получающейся «размешиванием» вещества по системе. Интерес представляет также определение регулярной силы как математического ожидания случайной силы. Подчеркивается, что время пересечения τ_c, характерное время действия регулярных сил, определяет темп коллективных процессов в системе. Существенно, что регулярные силы могут приводить и, как правило, приводят к бесстолкновительной стохастизации. В этой связи рассматривается квазиэнтропия, среднее по фазовому пространству значение произвольной выпуклой функции от крупнозернистой функции распределения. Максимум квазиэнтропии для невращающихся систем возможен только при изотропном распределении скоростей. Приводятся найденные Антоновым выражения для ее первой и второй вариаций. Если вторая вариация положительна хотя бы для некоторого изменения плотности, то это означает, что данное состояние системы не является наивероятнейшим. Отсюда следует, что эволюция вдоль последовательности политропных шаров невозможна без поступления в систему дополнительной энергии. Напоминается классификация видов фазового размешивания в бесстолкновительных системах.

Кратко рассматривается проблема столкновительной релаксации в гравитирующих системах. Излагается подход к ее решению с точки зрения теории геодезических потоков с последующим усреднением по ансамблю, что требует знания закона распределения случайной силы. Чтобы избежать обрезания распределения Хольцмарка на малых прицельных расстояниях, использовано распределение случайной силы, найденное Петровской. В этом случае оказывается, что отношение эффективного времени стохастизации к времени пересечения пропорционально N^⅓/(ln N)^½, где N>>1 - число тел в системе. Полученная временная шкала столкновительной эволюции практически совпадает с шкалой, ранее предложенной Генкиным.

Various ways of definition of irregular (random) and regular (smoothed) forces in stellar systems are critically discussed. The most satisfactory is Eddington's one according to which the regular force is an attraction force of a continuous fluid resulting from spreading a stellar mass over a system. Also, a definition of the regular force as a mathematical expectation of a random force is of interest. It is emphasized that the crossing time, τ_c, a time scale of regular forces, characterizes the rate of collective processes in the system, including collisionless relaxation, that (as a rule) occurs in gravitating systems. The quasi-entropy, i.e., a result of averaging of an arbitrary convex function of a coarse-grained distribution function over the phase space, is discussed as a measure of collisionless stochastization. For non-rotating systems the maximum of quasi-entropy can be reached only for isotropic velocity distributions. Formulas for the first and second variations of quasi-entropy, found by Antonov, are given. If there exists the density variation so that the second variation of quasi-entropy is positive, then the present state of the system is not the most probable. It follows from this assertion that evolution along a sequence of polytropic spheres is not possible without some energy input to the system. We recall the classification of forms of the phase mixing in collisionless systems.

The problem of collisional relaxation in gravitating systems is briefly discussed. We state the approach to its analysis on the basis of studying geodesic flows and the ensemble averaging as the next step, which requires the knowledge of distribution of a random force. To avoid truncation of Holtsmark's distribution at small impact parameters the distribution of random force by Petrovskaya was used. In that case the ratio of the effective stochastization time to the crossing time is proportional to N^⅓/(ln N)^½, where N>>1 is the number of stars in the system. This evolutionary time scale is close to the one found earlier by Genkin.