Все выпуски

Рассматривается нелокальная граничная задача для управляемой системы с обратной связью, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка с бесконечным запаздыванием в сепарабельном банаховом пространстве. Приводится общий принцип существования решений задачи в терминах отличия от нуля топологической степени соответствующего векторного поля. Доказывается конкретный пример (теорема 6) реализации этого общего принципа. Доказывается существование оптимального решения поставленной задачи, минимизирующего заданный полунепрерывный снизу функционал качества.

We consider a non-local boundary value problem for a feedback control system described by a semilinear functional-differential inclusion of fractional order with infinite delay in a separable Banach space. The general principle of existence of solutions to the problem in terms of the difference from zero of the topological degree of the corresponding vector field is given. We prove a concrete example (Theorem 6) of the implementation of this general principle. The existence of an optimal solution to the posed problem is proved, which minimizes the given lower semicontinuous quality functional.

Рассматриваются многозначные отображения, действующие из частично упорядоченного пространства $(X,\leq)$ в множество $Y$, на котором задано рефлексивное бинарное отношение $\vartheta$ (это отношение не предполагается ни антисимметричным, ни транзитивным, т.е. $\vartheta$ не является порядком в $Y$). Для таких отображений введены аналоги понятий накрывания и монотонности. С использованием этих понятий исследуется включение $F(x)\ni \tilde{y}$, где $F\colon X \rightrightarrows Y$, $\tilde{y}\in Y$. Предполагается, что для некоторого заданного $x_0\in X$ существует $y_{0} \in F(x_{0})$ такой, что $(\tilde{y},y_{0}) \in \vartheta$. Получены условия существования решения $x\in X$ изучаемого включения, удовлетворяющего неравенству ${x\leq x_0}$, и условия существования минимального и наименьшего решений. Также определяется и исследуется свойство устойчивости решений рассматриваемого включения к изменениям многозначного отображения $F$ и элемента $\widetilde{y}$. А именно, рассматривается последовательность «возмущенных» включений $F_i(x)\ni \tilde{y}_i$, $i\in \mathbb{N}$, получены условия, при которых эти включения имеют решения $x_i \in X$ и для любой возрастающей последовательности $\{i_n\}$ натуральных чисел выполнено $\sup_{n \in \mathbb{N}}\{x_{i_{n}}\}= x$, где $x\in X$ — решение исходного включения.

Set-valued mappings acting from a partially ordered space $X=(X,\leq)$ to a set $Y$ on which a reflexive binary relation $\vartheta$ is given (this relation is not supposed to be antisymmetric or transitive, i.e., $\vartheta$ is not an order in $Y$), are considered. For such mappings, analogues of the concepts of covering and monotonicity are introduced. These concepts are used to study the inclusion $F(x)\ni \tilde{y},$ where $F\colon X \rightrightarrows Y,$ $\tilde{y}\in Y.$ It is assumed that for some given $x_0 \in X,$ there exists $y_{0} \in F(x_{0})$ such that $(\tilde{y},y_{0}) \in \vartheta.$ Conditions for the existence of a solution $x\in X$ satisfying the inequality $x\leq x_0$ are obtained, as well as those for the existence of minimal and least solutions. The property of stability of solutions of the considered inclusion to changes of the set-valued mapping $F$ and of the element $\widetilde{y}$ is also defined and investigated. Namely, the sequence of “perturbed” inclusions $F_i(x)\ni \tilde{y}_i,$ $i\in \mathbb{N},$ is assumed, and the conditions of existence of solutions $x_i \in X$ such that for any increasing sequence of integers $\{i_n\}$ there holds $\sup_{n \in \mathbb{N}}\{x_{i_{n}}\}= x,$ where $x \in X$ is a solution of the initial inclusion, are derived.

С помощью обобщенного оператора производной вводится новый подкласс в классе гармонических многолистных функций. Установлены оценки на коэффициенты, неравенства искажения и включения с окрестностями для различных подклассов в классе гармонических многолистных функций.

Making use of the generalized derivative operator, we introduce a new subclass of harmonic multivalent functions. We obtain the coefficient bounds, distortion inequalities and inclusion relationships involving the neighborhoods of subclasses of harmonic multivalent functions.