Все выпуски

Рассматривается процедура встраивания оптимизируемых фрагментов маршрутных решений в глобальные решения «большой» задачи, определяемые эвристическими алгоритмами. Постановка задачи маршрутизации учитывает некоторые особенности инженерной задачи о последовательной резке деталей, имеющих каждая один внешний и, возможно, несколько внутренних контуров. Последние должны подвергаться резке раньше внешнего, что приводит к большому числу условий предшествования. Данные условия активно используются в интересах снижения сложности вычислений. Тем не менее размерность задачи остается достаточно большой, что, в частности, не позволяет применять «глобальное» динамическое программирование и вынуждает к использованию эвристических алгоритмов (исследуемая задача относится к числу труднорешаемых в традиционном понимании). Поэтому представляет интерес разработка методов коррекции решений, получаемых на основе упомянутых алгоритмов. В настоящей работе такая коррекция реализуется посредством замены фрагментов (упомянутых решений), имеющих умеренную размерность, оптимальными «блоками», конструируемыми на основе динамического программирования с локальными условиями предшествования, которые согласуются с ограничениями исходной «большой» задачи. Предлагаемая замена не ухудшает, а, в типичных случаях, улучшает качество исходного «эвристического» решения, что подтверждается вычислительным экспериментом на многоядерной ПЭВМ.

Предложенный алгоритм реализован в итерационном режиме: полученное после первой вставки на основе динамического программирования решение в виде пары «маршрут-трасса» принимается за исходное, для которого вновь конструируется вставка. При этом начало этой новой вставки выбирается случайно в пределах, определяемых возможностями формирования скользящего «окна» ощутимой, но все же достаточной для применения экономичной версии динамического программирования размерности. Далее процедура повторяется. Работа итерационного алгоритма иллюстрируется решением модельных задач, включая варианты с достаточно плотной «упаковкой» заготовок деталей на листе, что типично для машиностроительного производства.

The article is concerned with the procedure of insertion of optimizable fragments of route solutions into the global solutions of the «big» problem defined by heuristic algorithms. Setting of the route problem takes into account some singularities of the engineering problem about the sequential cutting of details each having one exterior and probably several interior contours. The latter ones must be subjected to cutting previously in comparison with the exterior contour, which leads to a great number of given preceding conditions. These conditions are actively used to decrease the computational complexity. Nevertheless, the problem dimensionality remains sufficiently large that does not permit to use “global’’ dynamic programming and forces heuristic algorithms to be used (the problem under investigation is a hard-solvable problem in the traditional sense). Therefore, it is interesting to develop the methods for correction of solutions based on the above-mentioned algorithms. In the present investigation, such correction is realized by the replacement of fragments (of the above-mentioned solutions) having a moderate dimensionality by optimal “blocks’’ constructed by dynamic programming with local preceding conditions which are compatible with the constraints of the initial “big’’ problem. The proposed replacement does not deteriorate, but, in typical cases, improves the quality of the initial heuristic solution. This is verified by the computing experiment on multi-core computer.

The proposed algorithm is realized in the iterated regime: the solution (in the form of “route-trace’’) obtained after the first insertion on the basis of dynamic programming is taken as an initial solution for which the insertion is constructed again. In addition, the beginning of the new insertion is chosen randomly in the bounds defined by the possibilities of formation of a sliding “window’’ of the appreciable dimensionality which is in fact sufficient for the employment of the economical version of dynamic programming. Further, the procedure is repeated. The operation of the iterated algorithm is illustrated by solution of model problems including the versions with sufficiently dense “packing’’ of parts on a sheet, which is typical for the engineering production.

Рассматриваются вопросы, связанные с решением аддитивной задачи последовательного обхода множеств с ограничениями предшествования и функциями стоимости, допускающими зависимость от списка заданий. В качестве базового метода используется широко понимаемое динамическое программирование (ДП), дополняемое в случае задач ощутимой размерности декомпозициями семейства заданий и преобразованием параметров исходной задачи. Возможные применения связаны, в частности, с задачей управления инструментом при фигурной листовой резке деталей на машинах с ЧПУ. В этой задаче важным обстоятельством является учет условий предшествования, имеющих, в частности, следующий смысл: в случае детали с отверстиями резка каждого из внутренних контуров (отвечающих отверстиям) должна предшествовать резке внешнего контура. Сам критерий качества в данной задаче, как правило, является аддитивным. Другой тип ограничений касается избежания термических деформаций деталей. При использовании подхода с применением штрафов за нарушение условий, связанных с эффективным отводом тепла при выполнении врезки, возникают функции стоимости, допускающие зависимость от списка заданий, выполненных на текущий момент времени. Заметим, что в другой прикладной задаче, а именно в задаче о демонтаже радиационно опасных объектов, возникают функции стоимости с зависимостью от списка заданий, не выполненных на данный момент (а, следовательно, касающихся недемонтированных объектов). В итоге мы приходим к очень общей задаче с ограничениями предшествования и функциями стоимости с зависимостью от списка заданий. Применяемая в случае ощутимой размерности декомпозиция с последующей реализацией ДП требует, с одной стороны, разработки методов кластеризации, а, с другой, построения адекватной конструкции распределения глобальных условий предшествования по кластерам. В теоретической части работы обсуждается случай двух кластеров, который позволяет охватить единой схемой целый ряд практически интересных задач диапазонного (в смысле размерности) типа. Указан алгоритм построения композиционного решения, включающий этап обучения кластеризации на основе жадного алгоритма. Данный «композиционный» алгоритм реализован на ПЭВМ; проведен вычислительный эксперимент.

Issues related to solving the additive problem of sequential traversal of sets with precedence restrictions and cost functions that allow dependence on the list of tasks are considered. The basic method is a broadly understood dynamic programming (DP), supplemented in the case of problems of appreciable dimension by decompositions of the family of tasks and transformation of the parameters of the original problem. Possible applications are related, in particular, to the problem of tool control in figured sheet cutting of parts on CNC machines. In this problem, an important circumstance is taking into account the precedence conditions, which have, in particular, the following meaning: in the case of a part with holes, cutting of each of the internal contours (corresponding to the holes) should precede cutting of the external contour. The quality criterion itself in this problem, as a rule, is additive. Another type of constraints concerns avoiding thermal deformations of parts. When using the approach with penalties for violating the conditions associated with effective heat dissipation during cutting, cost functions arise that allow dependence on the list of tasks completed to date. Note that in another applied problem, namely, in the problem of dismantling radiation hazardous objects, cost functions arise with dependence on the list of tasks that have not been completed at the moment (and, consequently, concern the objects that have not been dismantled). As a result, we arrive at a very general problem with precedence constraints and cost functions with dependence on the list of tasks. The decomposition applied in the case of a noticeable dimensionality with subsequent implementation of the DP requires, on the one hand, the development of clustering methods, and, on the other, the construction of an adequate structure for distributing global precedence conditions among clusters. In the theoretical part of the work, the case of two clusters is discussed, which makes it possible to cover with a single scheme a number of practically interesting problems of a range (in terms of dimensionality) type. An algorithm for constructing a composite solution is indicated, including a stage of clustering training based on a greedy algorithm. This “composite” algorithm is implemented on a PC; a computational experiment was carried out.

Рассматривается задача маршрутизации перемещений с ограничениями и усложненными функциями стоимости. Предполагается, что объекты посещения суть мегаполисы (непустые конечные множества), при посещении которых должны выполняться некоторые работы, именуемые далее внутренними. По постановке задачи имеются ограничения в виде условий предшествования. Стоимость перемещений зависит от списка заданий, которые не выполнены на момент перемещения. Ситуация такого рода возникает, в частности, при аварийных ситуациях, связанных с работой АЭС и подобных происходящим в Чернобыле и Фукусиме. Речь идет об утилизации источников радиоактивного излучения, осуществляемой последовательно во времени; в этом случае исполнитель находится под воздействием источников, которые не были демонтированы на момент соответствующего перемещения. За счет этого в функциях стоимости, оценивающих воздействие радиации на исполнителя, возникает зависимость от списка невыполненных заданий. Последние состоят в том или ином варианте выключения соответствующего источника. В настоящем исследовании излагается подход к решению данной задачи параллельным алгоритмом, реализуемым на суперкомпьютере «УРАН».

We consider a routing problem with constraints and complicated cost functions. The visited objects are assumed to be clusters, or megalopolises (nonempty finite sets), and the visit to each of them entails certain tasks, which we call interior jobs. The order of visits is subject to precedence constraints. The costs of movements depend on the set of pending tasks (not yet complete at the time of the movement), which is also referred to as “sequence dependence”, “position dependence”, and “state dependence”. Such a dependence arises, in particular, in routing problems concerning emergencies at nuclear power plants, similar to the Chernobyl and Fukushima Daiichi incidents. For example, one could consider a disaster recovery problem concerned with sequential dismantlement of radiation sources; in this case, the crew conducting the dismantlement is exposed to radiation from the sources that have not yet been dealt with. This gives rise to dependence on pending tasks in the cost functions that measure the crew's radiation exposure. The latter dependence reflects the “shutdown” operations for the corresponding radiation sources. This paper sets forth an approach to a parallel solution for this problem, which was implemented and run on the URAN supercomputer.

Рассматривается задача последовательного обхода мегаполисов (непустых конечных множеств) с условиями предшествования и функциями стоимости, зависящими от списка заданий. Постановка ориентирована на инженерные задачи, возникающие в атомной энергетике и связанные со снижением облучаемости работников, а также в машиностроении (маршрутизация движения инструмента при листовой резке на машинах с ЧПУ). Предполагается, что исследуемая задача дискретной оптимизации имеет ощутимую размерность, что вынуждает к использованию эвристик. Обсуждается процедура локального улучшения качества последних посредством применения оптимизирующих мультивставок, определяемых всякий раз в виде конечного дизъюнктного набора вставок. Предполагается, что в каждой вставке используется процедура оптимизации на основе широко понимаемого динамического программирования. Показано, что в «аддитивной» маршрутной задаче вышеупомянутого типа (с ограничениями и усложненными функциями стоимости) улучшения достигаемого результата также агрегируются аддитивно. Предлагаемая конструкция допускает реализацию в виде параллельной процедуры с использованием МВС; при этом отдельные вставки выделяются вычислительным узлам и формируются независимо.

We consider a problem of sequential traversal of megalopolises (nonempty finite sets) with travel cost functions depending on the set of pending tasks and precedence constraints. Its formulation is aimed at engineering problems in fission power generation connected with minimizing the exposure of staff to radiation and in machine engineering (routing of a CNC sheet cutting machine's tool). This discrete optimization problem is assumed to be sufficiently large-scale to necessitate the use of heuristics. We consider a procedure of local improvement for heuristics through a successive application of optimizing multi-inserts-finite disjoint sets of inserts. Each insert is assumed to be optimized by means of a broadly understood dynamic programming procedure. We show that in an “additive” routing problem of this kind (with precedence constraints and complex travel cost functions) the result's improvements are also aggregated additively. The proposed construction admits a parallel implementation for multiprocessor systems; in this case, the inserts are distributed to computational nodes and formed in an independent way.

В статье рассматривается общий случай маршрутной задачи дискретной оптимизации, осложненной условиями предшествования; изучается влияние условий предшествования на вычислительную сложность решений таких задач методом динамического программирования. Особенность применяемого метода динамического программирования заключается в его «экономичности»: подзадачи, не соблюдающие условия предшествования и, следовательно, не участвующие в оптимальном решении, не рассматриваются, что позволяет сберечь и вычислительную мощность, и память.

Этот метод c 2004 года используется А.Г. Ченцовым и его соавторами, но степень экономии ресурсов исследовалось мало. Мы предлагаем подход к решению этой проблемы, основанный на комбинаторном анализе числа подзадач, существенных в смысле условий предшествования. Применяя известные комбинаторные правила сложения и произведения, мы получили результат для важных частных случаев условий предшествования: а) «независимые» наборы условий предшествования; б) «цепь» условий предшествования - когда условия задают линейный порядок; в) случай, когда в графе предшествования нет неориентированных циклов, и исходящая степень любой вершины не превышает единицы. Последний случай представляет собой условия предшествования, встречающихся в практической задаче маршрутизации движений инструмента в машинах листовой резки и соответствует требованию вырезать внутренний контур прежде внешнего.

В связи с более сложной структурой случая в) по сравнению с остальными для него вместо аналитической формулы представлен алгоритм; алгоритм реализован на языке C++, зависимость его вычислительной сложности от числа связанных условиями предшествования объектов имеет не более чем квадратичный порядок. В дальнейшем мы предполагаем расширить область применения нашего подхода до более общих вариантов условий предшествования. Отметим также, что наш подход не зависит от критерия оптимальности, соответственно, может применяться для анализа сложности решения методом динамического программирования в произвольных маршрутных задачах с условиями предшествования.

We consider the general case of Precedence Constrained TSP (or a less general case of Sequential Ordering Problem) solved with a special kind of dynamic programming method that uses precedence constraints to significantly reduce the number of subproblems that must be solved to find the optimal solution of the original problem. Our aim is to quantify this reduction, which is necessary to clarify the influence of precedence constraints on computational complexity of dynamic programming solutions of such problems. This variety of the method of dynamic programming has been developed by A.G. Chentsov and his co-authors since 2004 but there was only one attempt at examining the influence of precedence constraints on complexity, which only described the influence of a single precedence constraint in the form of an “address pair” (sender, receiver).

Our approach to studying the complexity of this method is essentially the combinatorial analysis of the number of subproblems that are feasible in the sense of abiding by precedence constraints. Using the well-known combinatorial principles, the rule of product and the rule of sum, we established the estimates of complexity reduction for the following cases: a) “independent” sets of precedence constraints; b) “chains” of precedence constraints, when the precedence constraints define a linear ordering on the objects bound by them; c) precedence constraints expressed by an acyclic directed graph with outdegree (the number of receivers per sender) at most one. The latter case of precedence constraints is the one encountered in real-life problems of optimizing the route of the cutter in various machines used to cut sheet material. Since this is the most complex case of the three analyzed, instead of an analytic formula, we had to develop an algorithm (which we implemented in C++) to quantify the reduction; the computational complexity of the algorithm is less than quadratic with respect to the number of objects constrained by the precedence constraints. We intend to develop our approach to treat other cases of precedence constraints, eventually reaching the general case. We would also like to note that our method is optimization criterion-agnostic and thus applicable to many kinds of TSP, as long as they are precedence constrained and solvable by dynamic programming; in fact, our approach may be used to analyze the complexity of the dynamic programming method solution of any discrete optimization problem that deals with ordering subject to precedence constraints.

Рассматривается «аддитивная» задача последовательного обхода мегаполисов (непустых конечных множеств), при посещении которых выполняются некоторые работы; перемещения и выполняемые работы оцениваются функциями стоимости, допускающими зависимость от списка заданий. Имеются ограничения различных типов, среди которых выделяются условия предшествования, используемые «в положительном направлении» (в интересах снижения сложности вычислений). Кроме того, в постановке присутствуют динамические ограничения, формирующиеся по мере выполнения заданий. Исследуемая постановка ориентирована на инженерные приложения, связанные с листовой резкой на машинах с ЧПУ. Исследуется подход к построению оптимальных решений на основе нестандартной версии динамического программирования (ДП). В рамках данного подхода учитываются ограничения различных типов, включая динамические ограничения, естественно возникающие при листовой резке деталей (в частности учитываются тепловые допуски, связанные с надежным отводом тепла из окрестностей точек врезки). При этом допускается комбинация «прямых» запретов на перемещения и выполнение врезки, а также системы штрафов. В последнем случае типично возникают функции стоимости с зависимостью от списка заданий. Применяемый вариант ДП позволяет оптимизировать точку старта, маршрут, отождествляемый с перестановкой индексов, и трассу (траекторию), согласованную с данным маршрутом. На этапе построения функции Беллмана используется экономичный вариант ДП, при котором весь массив значений этой функции не насчитывается, а определяется только система ее слоев (при условиях предшествования, типичных для задачи, связанной с листовой резкой, это приводит к существенному снижению вычислительных затрат). На основе ДП построен оптимальный алгоритм, реализованный на ПЭВМ; приведены результаты вычислительного эксперимента.

The “additive” problem of sequentially visiting megalopolises (nonempty finite sets) is considered; some tasks are executed as the megalopolises are visited. Permutations and operations are evaluated by cost functions that admit a dependence on the list of tasks. There are restrictions of different types, which include precedence conditions used in the “positive direction” (to reduce the complexity of calculations). In addition, this conception involves dynamical restrictions that are formed in the process of task execution. This conception is oriented to engineering applications associated with sheet cutting on CNC machines. An approach to constructing optimal solutions based on a nonstandard version of dynamic programming (DP) is investigated. This approach takes into account restrictions of different types, including dynamic constraints which naturally arise in sheet cutting applications (in particular, it takes into account heat tolerances related to diffusion of heat in the vicinities of tie-in points). In this regard, a combination of “direct” interdictions of movements and cutting and a system of penalties is allowed; in the latter case, cost functions with a dependence on the list of tasks arise. The variant of DP that is used allows one to optimize the selection of a starting point, the route, which is identified with a permutation of the indexes, and the trajectory corresponding to the above-mentioned route. An economical variant of DP is used at the stage of construction of the Bellman function. This conception allows avoiding calculation of the whole array of values of this function; instead, only the system of its layers is defined (in the case of using the precedence conditions, which are typical of the problem of sheet cutting, this conception results in a considerable reduction of calculation costs). An optimal DP-based algorithm is constructed and realized on PC, and the results of the computational experiment are presented.

Работа посвящена связи параллельных и последовательных вычислений. С одной стороны, рассматривается класс словарных предикатов, основанных на последовательных вычислениях, ограниченных по памяти константами и имеющих полиномиальную временную сложность. С другой стороны, рассматривается класс словарных предикатов, вычислимых на параллельных альтернирующих машинах за логарифмическое время. Доказано совпадение соответствующих классов. Предложено направление использования полученных результатов для взаимного преобразования и сочетания вычислений на молекулярных биоподобных последовательных машинах и параллельных вычислениях на векторно-матричных компьютерах. Предполагаемые области применения: обработка изображений в реальном масштабе времени для задач управления, анализ больших текстов и других больших данных.

The work is devoted to the connection between parallel and sequential computing. On the one hand, we consider a class of word predicates based on sequential calculations, limited in memory by constants and having polynomial time complexity. On the other hand, we consider a class of word predicates that are computable on parallel alternating machines in logarithmic time. The coincidence of the corresponding classes is proven. The direction of using the obtained results for mutual transformation and combination of calculations on molecular biosimilar sequential machines and parallel calculations on vector-matrix computers is proposed. Intended applications: real-time image processing for control tasks, analysis of large texts and other big data.

Рассматривается усложненный вариант задачи маршрутизации «на узкие места», а именно: исследуется задача последовательного обхода мегаполисов с условиями предшествования. Предполагается, что функции стоимости, а также «текущие» ограничения на выбор перемещений зависят от списка заданий, не выполненных на данный момент времени. Предложен вариант широко понимаемого динамического программирования, в рамках которого не предусматривается (при наличии условий предшествования) построение всего массива значений функции Беллмана; конструируются специальные слои упомянутой функции, реализующие в своей совокупности частичный (это способствует снижению вычислительной сложности) массив ее значений. На этой основе предлагается алгоритм определения значения задачи (глобального экстремума), при компьютерной реализации которого в памяти всякий раз находится только один слой функции Беллмана; найденное значение может использоваться при тестировании эвристик. Построен и реализован на ПЭВМ также оптимальный алгоритм «полного» решения маршрутной задачи, в рамках которого на этапе построения маршрута и трассы используются уже все слои функции Беллмана.

A complicated variant of the “bottleneck problem” is considered, namely: the problem of sequential visiting of megalopolises with preceding constraints. It is supposed that costs functions and “current” constraints with respect to displacements selection depend on the tasks list which is not completed at the moment. The variant of widely understood dynamic programming is proposed, it doesn't foresee (with preceding conditions) construction of the whole array of the Bellman function values; the special layers of this function realizing in its totality the partial array of its values are constructed (it helps to decrease the calculation complexity). An algorithm of the problem value (global extremum) calculation is proposed, the computer realization of which implies the existence of only one layer of the Bellman function in a memory of computer; the obtained value may be used for the heuristics testing. The optimal algorithm of “complete” solving of the route problem is constructed, within which all layers of the Bellman function are used at the route and trace constructing.

В работе формализуется задача оптимизации сопутствующего производства на гибких или реконфигурируемых производствах. В рассматриваемой постановке на входе задан набор обязательных изделий, требуется решить две взаимосвязанные подзадачи: 1) для каждого изделия из набора обязательных сформировать группу дополнительных изделий, которые могут быть произведены без изменения состояния производства, и 2) определить порядок переналадок производства между группами дополнительных изделий, а также «точки входа и выхода» в каждую из групп. В настоящей работе указанные подзадачи рассматриваются последовательно: первая подзадача сведена к задаче поиска клики максимального веса в ориентированном графе, вторая - к кластерной задаче коммивояжера. В ходе масштабных вычислительных экспериментов изучен выигрыш от применения эффективных современных методов решения обеих подзадач в сравнении с жадным решением, моделирующим рациональные действия человека-оператора в условиях большой размерности исходной комплексной задачи и ограниченного времени, имеющегося для ее решения.

The paper is devoted to the problem of optimization of accompanying manufacturing in flexible or reconfigurable manufacturing systems. Using a set of obligatory products as an input, the initial problem is reduced to two interrelated subproblems: 1) for each product from the set of obligatory products, form a group of additional (accompanying) products that can be manufactured without changing the state of production, and 2) determine the order of manufacturing changeovers between the groups of additional products, as well as the “points of entry and exit” for each group. The subproblems are considered sequentially: the first subproblem is reduced to the maximum weight clique problem, the second - to the cluster traveling salesman problem. Large-scale computational experiments were conducted to reveal the benefits of applying effective modern methods for solving both subproblems in comparison with the greedy solution (which models the rational actions of a human operator solving large accompanying manufacturing problems in short time).

Исследуется задача последовательного обхода мегаполисов с условиями предшествования, ориентированная на применение в машиностроении при листовой резке деталей на машинах с ЧПУ. Имеется следующая особенность постановки: терминальная компонента аддитивного критерия содержит зависимость от стартовой точки. Данная особенность приводит к тому, что естественная процедура решения на основе динамического программирования должна применяться индивидуально для каждой точки старта. Целью исследования является построение оптимизирующего алгоритма для определения комплекса, включающего маршрут (способ нумерации мегаполисов), траекторию и точку старта. Предложенный алгоритм реализует идею направленного перебора точек старта. Алгоритм реализован в виде стандартной программы для ПЭВМ; решены модельные примеры.

The problem of sequential traversal of megapolises with precedence conditions is investigated; this problem is oriented to mechanical engineering — CNC metal cutting machines. There is the following setting singularity: the terminal component of additive criterion contains the dependence on the starting point. This singularity leads to the fact that the natural solution procedure based on dynamic programming must be applied individually for every starting point. The investigation goal consists in the construction of an optimizing algorithm for determining a complex including a route (a variant of megapolis numbering), a trajectory, and a starting point. The proposed algorithm realizes an idea of directed enumeration of starting points. This algorithm is realized as a program for PC; computations for model examples are made.