Все выпуски

Рассматривается задача маршрутизации перемещений с ограничениями и усложненными функциями стоимости. Предполагается, что объекты посещения суть мегаполисы (непустые конечные множества), при посещении которых должны выполняться некоторые работы, именуемые далее внутренними. По постановке задачи имеются ограничения в виде условий предшествования. Стоимость перемещений зависит от списка заданий, которые не выполнены на момент перемещения. Ситуация такого рода возникает, в частности, при аварийных ситуациях, связанных с работой АЭС и подобных происходящим в Чернобыле и Фукусиме. Речь идет об утилизации источников радиоактивного излучения, осуществляемой последовательно во времени; в этом случае исполнитель находится под воздействием источников, которые не были демонтированы на момент соответствующего перемещения. За счет этого в функциях стоимости, оценивающих воздействие радиации на исполнителя, возникает зависимость от списка невыполненных заданий. Последние состоят в том или ином варианте выключения соответствующего источника. В настоящем исследовании излагается подход к решению данной задачи параллельным алгоритмом, реализуемым на суперкомпьютере «УРАН».

We consider a routing problem with constraints and complicated cost functions. The visited objects are assumed to be clusters, or megalopolises (nonempty finite sets), and the visit to each of them entails certain tasks, which we call interior jobs. The order of visits is subject to precedence constraints. The costs of movements depend on the set of pending tasks (not yet complete at the time of the movement), which is also referred to as “sequence dependence”, “position dependence”, and “state dependence”. Such a dependence arises, in particular, in routing problems concerning emergencies at nuclear power plants, similar to the Chernobyl and Fukushima Daiichi incidents. For example, one could consider a disaster recovery problem concerned with sequential dismantlement of radiation sources; in this case, the crew conducting the dismantlement is exposed to radiation from the sources that have not yet been dealt with. This gives rise to dependence on pending tasks in the cost functions that measure the crew's radiation exposure. The latter dependence reflects the “shutdown” operations for the corresponding radiation sources. This paper sets forth an approach to a parallel solution for this problem, which was implemented and run on the URAN supercomputer.

В статье рассматривается общий случай маршрутной задачи дискретной оптимизации, осложненной условиями предшествования; изучается влияние условий предшествования на вычислительную сложность решений таких задач методом динамического программирования. Особенность применяемого метода динамического программирования заключается в его «экономичности»: подзадачи, не соблюдающие условия предшествования и, следовательно, не участвующие в оптимальном решении, не рассматриваются, что позволяет сберечь и вычислительную мощность, и память.

Этот метод c 2004 года используется А.Г. Ченцовым и его соавторами, но степень экономии ресурсов исследовалось мало. Мы предлагаем подход к решению этой проблемы, основанный на комбинаторном анализе числа подзадач, существенных в смысле условий предшествования. Применяя известные комбинаторные правила сложения и произведения, мы получили результат для важных частных случаев условий предшествования: а) «независимые» наборы условий предшествования; б) «цепь» условий предшествования - когда условия задают линейный порядок; в) случай, когда в графе предшествования нет неориентированных циклов, и исходящая степень любой вершины не превышает единицы. Последний случай представляет собой условия предшествования, встречающихся в практической задаче маршрутизации движений инструмента в машинах листовой резки и соответствует требованию вырезать внутренний контур прежде внешнего.

В связи с более сложной структурой случая в) по сравнению с остальными для него вместо аналитической формулы представлен алгоритм; алгоритм реализован на языке C++, зависимость его вычислительной сложности от числа связанных условиями предшествования объектов имеет не более чем квадратичный порядок. В дальнейшем мы предполагаем расширить область применения нашего подхода до более общих вариантов условий предшествования. Отметим также, что наш подход не зависит от критерия оптимальности, соответственно, может применяться для анализа сложности решения методом динамического программирования в произвольных маршрутных задачах с условиями предшествования.

We consider the general case of Precedence Constrained TSP (or a less general case of Sequential Ordering Problem) solved with a special kind of dynamic programming method that uses precedence constraints to significantly reduce the number of subproblems that must be solved to find the optimal solution of the original problem. Our aim is to quantify this reduction, which is necessary to clarify the influence of precedence constraints on computational complexity of dynamic programming solutions of such problems. This variety of the method of dynamic programming has been developed by A.G. Chentsov and his co-authors since 2004 but there was only one attempt at examining the influence of precedence constraints on complexity, which only described the influence of a single precedence constraint in the form of an “address pair” (sender, receiver).

Our approach to studying the complexity of this method is essentially the combinatorial analysis of the number of subproblems that are feasible in the sense of abiding by precedence constraints. Using the well-known combinatorial principles, the rule of product and the rule of sum, we established the estimates of complexity reduction for the following cases: a) “independent” sets of precedence constraints; b) “chains” of precedence constraints, when the precedence constraints define a linear ordering on the objects bound by them; c) precedence constraints expressed by an acyclic directed graph with outdegree (the number of receivers per sender) at most one. The latter case of precedence constraints is the one encountered in real-life problems of optimizing the route of the cutter in various machines used to cut sheet material. Since this is the most complex case of the three analyzed, instead of an analytic formula, we had to develop an algorithm (which we implemented in C++) to quantify the reduction; the computational complexity of the algorithm is less than quadratic with respect to the number of objects constrained by the precedence constraints. We intend to develop our approach to treat other cases of precedence constraints, eventually reaching the general case. We would also like to note that our method is optimization criterion-agnostic and thus applicable to many kinds of TSP, as long as they are precedence constrained and solvable by dynamic programming; in fact, our approach may be used to analyze the complexity of the dynamic programming method solution of any discrete optimization problem that deals with ordering subject to precedence constraints.

Рассматривается маршрутная задача о посещении сечений мультифункций с ограничениями в виде условий предшествования. Кроме того, по постановке предусматривается выполнение некоторых "работ" на упомянутых сечениях. Каждое решение определяется в виде упорядоченной пары, компоненты которой имеют смысл маршрута (перестановки индексов) и трассы (траектории) перемещений по сечениям мультифункций. Согласование трассы и маршрута реализуется на основе процедур последовательного выбора упорядоченных пар (пунктов прибытия и отправления) из декартовых "квадратов" сечений мультифункций, занумерованных в соответствии с маршрутом. Агрегирование стоимостей предполагается аддитивным; совокупный критерий включает стоимости (внешних) перемещений между сечениями мультифункций, внутренних "работ" и финального состояния. При построении расширения основной задачи, порождающего используемую далее функцию Беллмана, применяется эквивалентное преобразование ограничений: допустимость маршрутов по предшествованию заменяется допустимостью по вычеркиванию (заданий из списка), что соответствует варианту ограничений на текущие перемещения с одного множества на другое. Получен аналог уравнения Беллмана в виде процедуры преобразования слоёв функции Беллмана. Операция, определяющая данное преобразование, используется далее для построения эвристических алгоритмов, реализованных на ПЭВМ.

The route problem about visiting of multifunction sections with constraints of type of preceding conditions is considered. By setting of this problem the fulfilment of works on the above-mentioned sections is provided. Any solution is defined in the form of the ordered pair for which components have the sense of the route (the index permutation) and the trace (trajectory) of the movements with respect to sections of multifunctions. The agreement of the trace and route is realized by procedures of the sequential choice of ordered pairs (the point of arrival and the starting point) of Descartes "squares" of the multifunction sections numbered in correspondence with a route. The cost aggregation is presupposed additive; the total criterion includes the costs of (exterior) movements between sections of multifunctions, interior works, and the final state. Under constructing of extension of the basic problem that realizes the used Bellman function, the equivalent transformation of constraints is applied: admissibility of routes by preceding is replaced onto admissibility by deletion of tasks (of the list) that corresponds to the constraints variant with respect to the current movements from one set onto another. An analog of the Bellman equation realized by procedure of the transformation of layers of Bellman function is obtained. The operation defining this transformation is further used for constructing of heuristic algorithms realized on PC.

В работе формализуется задача оптимизации сопутствующего производства на гибких или реконфигурируемых производствах. В рассматриваемой постановке на входе задан набор обязательных изделий, требуется решить две взаимосвязанные подзадачи: 1) для каждого изделия из набора обязательных сформировать группу дополнительных изделий, которые могут быть произведены без изменения состояния производства, и 2) определить порядок переналадок производства между группами дополнительных изделий, а также «точки входа и выхода» в каждую из групп. В настоящей работе указанные подзадачи рассматриваются последовательно: первая подзадача сведена к задаче поиска клики максимального веса в ориентированном графе, вторая - к кластерной задаче коммивояжера. В ходе масштабных вычислительных экспериментов изучен выигрыш от применения эффективных современных методов решения обеих подзадач в сравнении с жадным решением, моделирующим рациональные действия человека-оператора в условиях большой размерности исходной комплексной задачи и ограниченного времени, имеющегося для ее решения.

The paper is devoted to the problem of optimization of accompanying manufacturing in flexible or reconfigurable manufacturing systems. Using a set of obligatory products as an input, the initial problem is reduced to two interrelated subproblems: 1) for each product from the set of obligatory products, form a group of additional (accompanying) products that can be manufactured without changing the state of production, and 2) determine the order of manufacturing changeovers between the groups of additional products, as well as the “points of entry and exit” for each group. The subproblems are considered sequentially: the first subproblem is reduced to the maximum weight clique problem, the second - to the cluster traveling salesman problem. Large-scale computational experiments were conducted to reveal the benefits of applying effective modern methods for solving both subproblems in comparison with the greedy solution (which models the rational actions of a human operator solving large accompanying manufacturing problems in short time).