Все выпуски

В работе исследуется стохастическая динамика двумерной модели Хиндмарш-Розе. В детерминированной модели Хиндмарш-Розе возможны параметрические зоны сосуществования различных устойчивых аттракторов - равновесий и предельных циклов. Появление колебаний больших амплитуд при воздействии случайных возмущений на систему в этих зонах объясняется наличием предельного цикла. Однако стохастическая генерация осцилляций больших амплитуд возможна и в параметрической зоне, где имеется лишь одно устойчивое равновесие. В данной статье рассматривается этот случай. При малых шумах случайные состояния концентрируются вблизи устойчивого равновесия. При увеличении интенсивности шума траектории уходят далеко от равновесия, совершая колебательные движения больших амплитуд в окрестности неустойчивого равновесия. Это явление подтверждается изменением плотности распределения случайных траекторий. Проводится анализ этого эффекта с помощью техники функций стохастической чувствительности. Предлагается метод оценки критических значений интенсивности шума.

We study the stochastic dynamics of the two-dimensional Hindmarsh-Rose model. In the deterministic Hindmarsh-Rose model the parametric zones of coexistence of different stable attractors (equilibria and limit cycles) are possible. The emergence of high amplitude oscillations under the influence of random disturbances on the system in these zones is due to the presence of a limit cycle. However, the stochastic generation of high amplitude oscillations is possible in a parametric zone where the deterministic system has the only stable equilibrium. This article discusses this case. For a sufficiently low noise intensity values, random states concentrate near the stable equilibrium. With the increasing of the noise intensity, trajectories go far from the equilibrium making high amplitude oscillations in the neighborhood of the unstable equilibrium. This phenomenon is confirmed by changing of the probability distribution of random trajectories. This effect is analyzed using the stochastic sensitivity function technique. A method of estimation of critical values for noise intensity is proposed.

Рассматривается вероятностная модель, заданная разностным уравнением $$x_{n+1}=f(\omega_n,x_n), \quad (\omega_n,x_n)\in \Omega\times [a,b], \quad n=0,1,\dots, \qquad\qquad(1)$$ где $\Omega$ - заданное множество с сигма-алгеброй подмножеств $\widetilde{\mathfrak A},$ на которой определена вероятностная мера $\widetilde \mu;$ $\mu$ - продолжение меры $\widetilde \mu$ на сигма-алгебру, порожденную цилиндрическими множествами. Исследуются инвариантные множества и аттракторы уравнения со случайными параметрами $(1).$ Получены условия, при которых заданное множество является максимальным аттрактором. Показано, что внутри инвариантного множества $A\subseteq [a,b]$ могут существовать решения, хаотические с вероятностью единица. Это происходит в случае, когда существуют $m_i\in\mathbb N$ и множества $\Omega_i\subset\Omega$ такие, что $\mu(\Omega_i)>0,$ $i=1,2,$ и ${\rm cl} \,f^{m_1}(\Omega_1,A)\cap \,{\rm cl} f^{m_2}(\Omega_2,A)=\varnothing.$ Решения, хаотические с вероятностью единица, также наблюдаются в случае, когда уравнение $(1)$ либо не имеет ни одного цикла, либо все циклы отталкивающие с вероятностью единица. Результаты работы проиллюстрированы на примере непрерывно-дискретной вероятностной модели динамики изолированной популяции; для данной модели исследованы различные динамические режимы развития, которые имеют определенные отличия от режимов детерминированных моделей и более полно отображают процессы, происходящие в реальных физических системах.

We consider the probability model defined by the difference equation $$x_{n+1}=f(\omega_n,x_n), \quad (\omega_n,x_n)\in \Omega\times [a,b], \quad n=0,1,\dots, \qquad\qquad (1)$$ where $\Omega$ is a given set with sigma-algebra of subsets $\widetilde{\mathfrak A},$ on which a probability measure $\widetilde \mu$ is defined. Let $\mu $ be a continuation of the measure $\widetilde \mu $ on the sigma-algebra generated by cylindrical sets. We study invariant sets and attractors of the equation with random parameters $(1).$ We receive conditions under which a given set is the maximal attractor. It is shown that, in invariant set $A\subseteq [a,b]$, there can be solutions, which are chaotic with probability one. It is observed in the case when exist an $m_i\in\mathbb N $ and sets $\Omega_i\subset\Omega $ such that $ \mu (\Omega_i)> 0,$ $i=1,2,$ and ${\rm cl}\, f^{m_1}(\Omega_1,A)\cap \,{\rm cl}\, f^{m_2}(\Omega_2,A)=\varnothing.$ It is shown, that solutions, chaotic with probability one, exist also in the case when the equation $(1)$ either has no any cycle, or all cycles are unstable with probability one. The results of the paper are illustrated by the example of a continuous-discrete probabilistic model of the dynamics of an isolated population; for this model we investigate different modes of dynamic development, which have certain differences from the modes of determined models and describe the processes in real physical systems more exhaustively.