Все выпуски

Рассматривается терминальная задача оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу с полной каратеодориевской правой частью уравнения в случае, когда необходимо искать решения системы в классе функций с суммируемой в некоторой степени $p>1$ смешанной производной. Показывается, что если правая часть аффинна по производным и они в ней аддитивно отделены от управления, то вырождение поточечного принципа максимума (необходимого условия оптимальности первого порядка при игольчатом варьировании управления) всегда является сильным, то есть на особом управлении принципа максимума одновременно с принципом максимума вырождаются и условия оптимальности второго порядка. Приводятся необходимые условия оптимальности особых управлений в этой ситуации, обобщающие известные сходные условия, относящиеся к случаю решений с ограниченной смешанной производной и более гладких правых частей уравнений.

The paper deals with the terminal optimization problem connected with the Goursat-Darboux control system. The right-hand side of the differential equation is a full nonlinear Caratheodory function. We consider the case in which solutions of the Goursat-Darboux system necessarily belong to a class of functions with $p$-integrable (for some $p>1$) mixed derivatives. In our case a choice of this class is defined by boundary functions. We study singular controls in the sense of the pointwise maximum principle that are controls for which this principle is strong degenerate, i.e., degenerate together with second-order optimality conditions. It is shown that for strong degeneration of the pointwise maximum principle it is sufficient that right-hand side with respect to state derivatives is affine and these derivatives and control are separated additively. Necessary optimality conditions of the singular controls are given for this case. These conditions generalize similar necessary optimality conditions which were obtained for more smooth right-hand sides in the case of solutions with bounded mixed derivatives.

Рассматриваются задачи управления на бесконечном промежутке времени со свободным правым концом. Получены необходимые условия сильной оптимальности. Сам метод доказательства фактически следует классической работе Халкина, а построенное в работе краевое условие на бесконечности является усилением условия, предложенного Сейерстадом. Построенная в работе полная система соотношений принципа максимума позволяет выписать для сопряженной переменной выражение в виде несобственного интеграла, зависящего лишь от разворачивающейся траектории. С.М. Асеев, А.В. Кряжимский, В.М. Вельев получали такое выражение в качестве необходимого условия в некоторых классах задач управления. Сильная оптимальность в ряде случаев позволяет создать переопределенную систему соотношений; в работе получены условия, достаточные для этого. Разобран пример.

In the paper we consider the infinite horizon control problems in the free end case. We obtain the necessary conditions of strong optimality. The method of the proof actually follows the classic paper by Halkin, and the boundary condition for infinity that we construct in our paper is a stronger variety of the Seierstad condition. The complete system of relations of the maximum principle that was obtained in the paper allows us to write the expression for the adjoint variable in the form of improper integral that depends only on the developing trajectory. S.M. Aseev, A.V. Kryazhimskii, and V.M. Veliov obtained the similar condition as a necessary condition for certain classes of control problems. As we note in our paper, the obtained conditions of strong optimality lead us to a redefined system of relations for sufficiently broad class of control problems. An example is considered.

Рассматривается регуляризация классических условий оптимальности (КУО) — принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина — в выпуклой задаче оптимального управлении с функциональными ограничениями типа равенства и неравенства. Управляемая система задается линейным функционально-операторным уравнением второго рода общего вида в пространстве $L^m_2$, основной оператор правой части уравнения предполагается квазинильпотентным. Целевой функционал задачи является сильно выпуклым. Получение регуляризованных КУО в итерационной форме основано на использовании метода итеративной двойственной регуляризации. Основное предназначение получаемых в работе регуляризованных принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина в итерационной форме — устойчивое генерирование минимизирующих приближенных решений в смысле Дж. Варги. Регуляризованные КУО в итерационной форме формулируются как теоремы существования в исходной задаче минимизирующих приближенных решений. Они «преодолевают» свойства некорректности КУО и являются регуляризирующими алгоритмами для решения оптимизационных задач. В качестве иллюстративного примера рассматривается задача оптимального управления, связанная с гиперболической системой дифференциальных уравнений первого порядка.

We consider the regularization of the classical optimality conditions (COCs) — the Lagrange principle and the Pontryagin maximum principle — in a convex optimal control problem with functional constraints of equality and inequality type. The system to be controlled is given by a general linear functional-operator equation of the second kind in the space $L^m_2$, the main operator of the right-hand side of the equation is assumed to be quasinilpotent. The objective functional of the problem is strongly convex. Obtaining regularized COCs in iterative form is based on the use of the iterative dual regularization method. The main purpose of the regularized Lagrange principle and the Pontryagin maximum principle obtained in the work in iterative form is stable generation of minimizing approximate solutions in the sense of J. Warga. Regularized COCs in iterative form are formulated as existence theorems in the original problem of minimizing approximate solutions. They “overcome” the ill-posedness properties of the COCs and are regularizing algorithms for solving optimization problems. As an illustrative example, we consider an optimal control problem associated with a hyperbolic system of first-order differential equations.

Показано, что для широкого класса распределенных оптимизационных задач характерно сильное вырождение особых управлений поточечного принципа максимума, когда вместе с принципом максимума, который можно рассматривать как необходимое условие оптимальности первого порядка при игольчатом варьировании управлений, вырождаются и необходимые условия второго порядка. Описан способ получения содержательных необходимых условий оптимальности сильно вырожденных особых управлений.

It is proved that for distributed optimization problems a sufficiently typical situation is strong degeneration of the singular controls in the sense of the pointwise maximum principle, when together with the maximum principle (which is a first order necessary optimality condition in the case of spike-shaped variation) a second order necessary optimality conditions also degenerates. A derivation of constructive necessary optimality conditions for singular controls is suggested.