Все выпуски

Рассматривается нелокальная граничная задача для управляемой системы с обратной связью, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением дробного порядка с бесконечным запаздыванием в сепарабельном банаховом пространстве. Приводится общий принцип существования решений задачи в терминах отличия от нуля топологической степени соответствующего векторного поля. Доказывается конкретный пример (теорема 6) реализации этого общего принципа. Доказывается существование оптимального решения поставленной задачи, минимизирующего заданный полунепрерывный снизу функционал качества.

We consider a non-local boundary value problem for a feedback control system described by a semilinear functional-differential inclusion of fractional order with infinite delay in a separable Banach space. The general principle of existence of solutions to the problem in terms of the difference from zero of the topological degree of the corresponding vector field is given. We prove a concrete example (Theorem 6) of the implementation of this general principle. The existence of an optimal solution to the posed problem is proved, which minimizes the given lower semicontinuous quality functional.

В работе изучена следующая задача: для линейной автономной дифференциально-разностной системы нейтрального типа с запаздыванием в состоянии требуется обеспечить ее полное успокоение с помощью обратной связью. Для решения указанной задачи предложен линейный автономный динамический дифференциально-разностный регулятор типа обратной связи по состоянию, не выводящий замкнутую систему из исходного класса линейных автономных систем нейтрального типа. Достаточное условие существования такого регулятора совпадает с критерием полной управляемости. Кроме того, замкнутая система будет иметь конечный спектр, что существенно упрощает задачу вычисления текущего состояния в ходе технической реализации регулятора. Основная идея исследования заключается в выборе параметров регулятора так, чтобы замкнутая система стала точечно вырожденной в направлениях, отвечающих фазовым компонентам исходной (разомкнутой) системы. Для этого на начальном этапе исходная система обратной связью приводится к системе запаздывающего типа с одним входом. Далее для полученного объекта строится динамический регулятор, обеспечивающий вырождение соответствующих фазовых компонент.

Предложенная процедура построения управляющего воздействия базируется на алгебраических свойствах оператора сдвига и не предполагает вычисления корней характеристического квазиполинома исходной системы. Возможно ее использование для обеспечения замкнутой системе не только полного успокоения, но и экспоненциальной устойчивости. Однако в последнем случае возникает необходимость использовать динамические регуляторы с обратной связью по состоянию интегрального типа.

This paper examines the following problem: a linear autonomous differential-difference system of neutral type with delay in state requires ensuring its complete calming by feedback. To solve this problem linear autonomous dynamic differential-difference controller with state feedback is proposed; this controller does not exclude a closed system from the original class of linear autonomous systems of neutral type. Sufficient condition for the existence of such a controller coincides with the criterion of complete controllability. In addition, the closed system has a finite spectrum, which simplifies greatly the problem of calculating the current state during the technical implementation of the controller. The basic idea of research is to select parameters for the controller so that the closed system becomes point-degenerated in directions corresponding to phase components of the original (open) system. To do this, the original system is first converted via feedback to the single-input system of retarded type. Further, for the resulting object the dynamic controller that provides the degeneracy of the corresponding phase components is constructed.

The proposed procedure for constructing the control action is based on the algebraic properties of shift operator and does not involve calculating the roots of characteristic quasipolynomial of the original system. It can be used to provide full calming as well as exponential stability to a closed system. However, in the latter case it is necessary to use dynamic controller with state feedback of integral type.

Для линейных автономных систем нейтрального типа с одним запаздыванием в состоянии разработан метод построения линейных дифференциально-разностных регуляторов с обратной связью, обеспечивающих модальную управляемость. При этом отдельно выделены случаи непрерывного и абсолютно непрерывного решений. Предложено обобщение этих результатов на системы указанного типа с многими соизмеримыми запаздываниями.

For linear autonomous systems of neutral type with one delay in the state, we develop the method of construction of linear difference-differential feedback controls that ensure modal controllability. In this case, we distinguish the cases of continuous and absolutely continuous solutions. The generalization of these results to a system of this type with multiple commensurate delays is suggested.