Все выпуски

Для задачи Коши, связанной с нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением в гильбертовом пространстве $X$, получены достаточные условия точной управляемости в заданное конечное состояние (а также в заданные промежуточные состояния в промежуточные моменты времени) на произвольно фиксированном (без дополнительных условий) интервале времени при ограничении на величину нормы управления. Фактически, обобщается аналогичный результат, полученный автором ранее для случая операторного дифференциального уравнения со стационарным линейным оператором и линейно входящим управлением без ограничения на величину нормы. Так же, как и ранее, используются теорема Минти–Браудера, а также цепочечная технология последовательного продолжения решения управляемой системы до промежуточных состояний. В качестве примера (представляющего самостоятельный интерес) рассматривается сильно нелинейное псевдопараболическое уравнение в частных производных, описывающее эволюцию электрического поля в полупроводнике.

Пусть $V$ — сепарабельное рефлексивное банахово пространство, непрерывно вложенное в гильбертово пространство $H$ и плотное в нем; $X=L_p(0,T;V)\cap L_{p_0}(0,T;H)$; $U$ — заданное множество управлений; $A\colon X\to X^*$ — заданный вольтерров оператор, радиально непрерывный, мотонный и коэрцитивный (вообще говоря, нелинейный). Для задачи Коши, связанной с управляемым эволюционным уравнением вида \[x^\prime+Ax=f[u](x),\quad x(0)=a\in H;\quad x\in W=\{ x\in X\colon x^\prime\in X^*\},\] где $u\in U$ — управление, $f[u]\colon \mathbf{C}(0,T;H)\to X^*$ — вольтерров оператор ($W\subset\mathbf{C}(0,T;H)$), доказана тотально (по множеству допустимых управлений) глобальная разрешимость при условии глобальной разрешимости некоторого функционально-интегрального неравенства в пространстве $\mathbb{R}$. Во многих частных случаях указанное неравенство может быть конкретизировано как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Фактически, развивается аналогичный результат, доказанный автором ранее для случая линейного оператора $A$ и $V=H=V^*$. Отдельно рассматриваются случаи компактного вложения пространств, усиления условия монотонности и совпадения тройки пространств $V=H=H^*$. В последних двух случаях доказывается также единственность решения. В первом случае применяется теорема Шаудера, в остальных — технология продолжения решения по времени (то есть продолжения вдоль вольтерровой цепочки). Приводятся конкретные примеры задания оператора $A$.