Все выпуски

В настоящей работе исследуется двумерная краевая задача типа Стеклова для оператора Ламэ в полуполосе, которая является предельной для сингулярно возмущенной краевой задачи в полуполосе с малым отверстием. Доказана теорема о существовании собственных элементов исследуемой краевой задачи. В частности, получены оценки для собственных значений, выраженные через постоянные Ламэ и параметр, определяющий ширину полуполосы, а также уточнена структура соответствующих собственных вектор-функций, определяющая их поведение при удалении от основания полуполосы. Более того, найдены явные выражения собственных значений предельной краевой задачи с точностью до решения системы алгебраических уравнений. Результаты, полученные в данной работе, позволят построить и строго обосновать асимптотическое разложение собственного значения сингулярно возмущенной краевой задачи в полуполосе с малым отверстием с точностью до степени малого параметра, характеризующего размер отверстия.

Для линейной нестационарной сингулярно возмущенной системы управления с постоянным запаздыванием по состоянию в уравнении для медленных переменных (ЛНСВСЗ) на основе представления оператора правой части системы в кольце полиномов от оператора запаздывания, погружения ЛНСВСЗ в семейство систем в расширенном пространстве состояний и применения невырожденных преобразований разработан метод построения асимптотических аппроксимаций решений ЛНСВСЗ. Построены асимптотические аппроксимации нулевого и первого порядков решения задачи Коши для ЛНСВСЗ.

В работе рассмотрен локально-неравновесный процесс затвердевания переохлажденного бинарного расплава. В целях простоты предполагается, что затвердевающая бинарная система находится при постоянных температуре и давлении и имеет две фазы, соответствующие твердому и жидкому состояниям. Математическое описание процесса затвердевания основано на модели фазового поля, обобщающей подход Плаппа (M. Plapp, Phys. Rev. E 84, 031601 (2011)) на случай локально-неравновесных процессов. Для вывода термодинамически согласованных уравнений модели использован метод расширенной необратимой термодинамики в отличие от феноменологического подхода Плаппа. Другое различие с моделью Плаппа состоит в использовании в качестве динамической переменной концентрации, а не химпотенциала примеси. В рамках полученной модели показана эквивалентность описания процесса затвердевания через концентрационное поле и через химпотенциал системы. В силу малости времен релаксации представленная модель сводится к сингулярно-возмущенной системе уравнений в частных производных параболического типа, описывающих динамику фазового и концентрационного полей. В работе предполагается известным описание термодинамических равновесных состояний на основе экспериментально полученных потенциалов Гиббса.

Для проверки полученной модели проведено численное моделирование одномерной задачи затвердевания в приближении разбавленного расплава Si-As, ранее неоднократно исследовавшегося экспериментально. Чтобы численно решить систему сингулярно-возмущенных уравнений, в работе предложен градиентно-устойчивый явный метод интегрирования уравнений второго порядка точности по времени. Для сведения бесконечного пространственного интервала к конечному использован метод «периодического сдвига». Оценка устойчивости получена из численных экспериментов.

Из численного моделирования процесса затвердевания разбавленного расплава Si-As получены профили концентрации и фазового поля, а также коэффициент распределения примеси на фронте затвердевания в зависимости от величины переохлаждения. Для проверки адекватности результатов численных экспериментов использовано аналитическое выражение для коэффициента распределения как функции переохлаждения, полученное из точного решения локально-неравновесной модели с резкой границей. Исследовано влияние параметров модели на процесс затвердевания и поведение численных решений вблизи диффузной границы.