Все выпуски

Статья посвящена развитию методов Ляпунова для анализа неустойчивости положения равновесия динамической системы в пространстве вероятностных мер, задаваемой нелокальным уравнением неразрывности. Рассматривается случай лишь барицентрически субдифференцируемой функции Ляпунова. Получены достаточные условия неустойчивости, которые являются аналогом теоремы Четаева и опираются на анализ поведения негладкой функции Ляпунова в окрестности положения равновесия. Приведен пример динамической системы, неустойчивость положения равновесия которой доказывается с использованием полученной теоремы.

The article is devoted to the development of Lyapunov methods for analyzing the instability of the equilibrium of a dynamical system in the space of probability measures, given by the nonlocal continuity equation. We consider the case of non-smooth Lyapunov function, but barycentrically subdifferentiable only. Sufficient instability conditions are obtained, which are an analogue of the Chetaev theorem and are based on an analysis of the behavior of the non-smooth Lyapunov function in the neighbourhood of the equilibrium. Also we give an example of a dynamical system, the instability of whose equilibrium position is proved using the obtained theorem.

Рассматривается движение математического маятника, установленного на подвижной платформе. Платформа вращается вокруг заданной вертикали с постоянной угловой скоростью $\omega$ и одновременно совершает гармонические колебания с амплитудой $A$ и частотой $\Omega$ вдоль вертикали. Амплитуда колебаний предполагается малой по сравнению с длиной маятника $\ell$ $(A=\varepsilon \ell,\ 0<\varepsilon \ll 1) $. Рассмотрено три типа движений. Для первых двух типов маятник неподвижен относительно платформы и располагается вдоль ее оси вращения (висящий и перевернутый маятники). Для третьего типа движений маятник совершает периодические колебания с периодом, равным периоду вертикальных колебаний платформы. Эти колебания имеют амплитуду порядка $\varepsilon$ и при $\varepsilon = 0$ переходят в положение относительного равновесия, в котором маятник составляет постоянный угол с вертикалью. Третий тип движения существует, если угловая скорость вращения платформы достаточно большая ($\omega^2 \ell>g$, где $g$ - ускорение свободного падения). В статье решается задача об устойчивости этих трех типов движения маятника для малых значений $\varepsilon$. Рассмотрены как нерезонансные случаи, так и случаи, когда в системе реализуются резонансы второго, третьего и четвертого порядка. В пространстве трех безразмерных параметров задачи $g/(\omega^2 \ell)$, $\Omega / \omega$ и $\varepsilon$ выделены области устойчивости по Ляпунову и области неустойчивости. Исследование опирается на классические методы и алгоритмы Ляпунова, Пуанкаре и Биркгофа, а также на современные методы анализа динамических систем при помощи КАМ-теории.

The motion of a mathematical pendulum mounted on a movable platform is considered. The platform rotates around a given vertical with a constant angular velocity $\omega$ and simultaneously executes harmonic oscillations with amplitude $A$ and frequency $\Omega$ along the vertical. The amplitude of oscillations is assumed to be small in comparison with the length $\ell$ of the pendulum $(A=\varepsilon \ell,\ 0<\varepsilon \ll 1) $. Three types of motions are considered. For the first two types, the pendulum is stationary relative to the platform and is located along its axis of rotation (hanging and inverted pendulum). For the third type of motions, the pendulum performs periodic oscillations with a period equal to the period of vertical oscillations of the platform. These oscillations have an amplitude of order $\varepsilon$ and at $\varepsilon = 0$ become relative equilibrium positions, in which the pendulum is a constant angle from the vertical. The motion of the third type exists if the angular velocity of rotation of the platform is large enough ($\omega^2 \ell>g$, $g$ is acceleration of gravity). In this paper, the problem of stability of these three types of pendulum motions for small values of $\varepsilon$ is solved. Both nonresonant cases and cases where resonances of the second, third and fourth orders occur in the system are considered. In the space of three dimensionless parameters of the problem, Lyapunov's stability and instability regions are singled out. The study is based on classical methods and algorithms due to Lyapunov, Poincaré and Birkhoff, as well as on modern methods of dynamical system analysis using Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) theory.