Все выпуски

Обсуждаются вопросы построения допустимых управлений в одной задаче оптимального управления нелинейной динамической системой при наличии ограничений на ее текущее фазовое состояние. Рассматриваемая динамическая система описывает управляемое движение ракеты-носителя от точки старта до момента ее выхода на заданную околоземную эллиптическую орбиту. Задача заключается в построении программного управления, которое обеспечивает выведение ракетой-носителем на орбиту полезной нагрузки максимальной массы и выполнение дополнительных ограничений на текущее фазовое состояние системы. Дополнительные ограничения обусловлены необходимостью учитывать величины скоростного напора, углов атаки и скольжения при движении ракеты в плотных слоях атмосферы и осуществлять падение ее отделяемых частей в заданные районы на земной поверхности. Для ракет-носителей ряда классов такая задача равносильна нелинейной задаче быстродействия с фазовыми ограничениями. Предлагаются и численно исследуются два алгоритма построения в этой задаче допустимых управлений, обеспечивающих выполнение указанных дополнительных фазовых ограничений. Методологическую основу одного алгоритма составляет применение некоторого прогнозирующего управления, которое априори строится в задаче быстродействия без учета в ней дополнительных ограничений, а другого - использование специальных режимов управления. Приводятся результаты численного моделирования.

The questions of constructing admissible controls in a problem of optimal control of a nonlinear dynamic system under constraints on its current phase state are discussed. The dynamic system under consideration describes the controlled motion of a carrier rocket from the launching point to the time when the carrier rocket enters a given elliptic earth orbit. The problem consists in designing a program control for the carrier rocket that provides the maximal value of the payload mass led to the given orbit and the fulfillment of a number of additional restrictions on the current phase state of the dynamic system. The additional restrictions are due to the need to take into account the values of the dynamic velocity pressure, the attack and slip angles when the carrier rocket moves in dense layers of the atmosphere. In addition it is required to provide the fall of detachable parts of the rocket into specified regions on the earth surface. For carrier rockets of some classes, such a problem is equivalent to a nonlinear time-optimal problem with phase constraints. Two algorithms for constructing admissible controls ensuring the fulfillment of additional phase constraints are suggested. The numerical analysis of these algorithms is performed. The methodological basis of one algorithm is the application of some predictive control, which is constructed without taking into account the constraints above. Another algorithm is based on special control modes. The results of numerical modeling are presented.

Для произвольного твёрдого тела строится семейство равномоментных ему систем Рауса, определяемое семью независимыми параметрами. Каждому решению из семейства отвечает система из пяти точечных масс — четыре точки образуют невырожденный тетраэдр, а пятая точка располагается в его центре масс. Найденное решение является самым широким обобщением ранее полученных результатов и содержит их как частные случаи. Решение не допускает дальнейшего обобщения без увеличения числа точечных масс. У твёрдого тела и равномоментной ему системы Рауса совпадают моменты распределения масс вплоть до второго порядка. Неединственность равномоментных систем позволяет ставить задачу нахождения такой системы, которая наилучшим образом приближает моменты распределения масс старших порядков.

For an arbitrary rigid body, a family of Routh equimomental systems is constructed, determined by seven independent parameters. Each solution from the family corresponds to a system of five point masses: four points form a non-degenerate tetrahedron, and the fifth one is located at its center of mass. The solution found is the broadest generalization of previously obtained results and contains them as particular cases. The solution does not allow further generalization without increasing the number of point masses of system. For a rigid body and its Routh equimomental system, the inertia integrals up to the second order coincide. The non-uniqueness of equal momental systems allows one to pose the problem of finding a system that best approximates the moments of mass distribution of higher orders.

В работе рассмотрен локально-неравновесный процесс затвердевания переохлажденного бинарного расплава. В целях простоты предполагается, что затвердевающая бинарная система находится при постоянных температуре и давлении и имеет две фазы, соответствующие твердому и жидкому состояниям. Математическое описание процесса затвердевания основано на модели фазового поля, обобщающей подход Плаппа (M. Plapp, Phys. Rev. E 84, 031601 (2011)) на случай локально-неравновесных процессов. Для вывода термодинамически согласованных уравнений модели использован метод расширенной необратимой термодинамики в отличие от феноменологического подхода Плаппа. Другое различие с моделью Плаппа состоит в использовании в качестве динамической переменной концентрации, а не химпотенциала примеси. В рамках полученной модели показана эквивалентность описания процесса затвердевания через концентрационное поле и через химпотенциал системы. В силу малости времен релаксации представленная модель сводится к сингулярно-возмущенной системе уравнений в частных производных параболического типа, описывающих динамику фазового и концентрационного полей. В работе предполагается известным описание термодинамических равновесных состояний на основе экспериментально полученных потенциалов Гиббса.

Для проверки полученной модели проведено численное моделирование одномерной задачи затвердевания в приближении разбавленного расплава Si-As, ранее неоднократно исследовавшегося экспериментально. Чтобы численно решить систему сингулярно-возмущенных уравнений, в работе предложен градиентно-устойчивый явный метод интегрирования уравнений второго порядка точности по времени. Для сведения бесконечного пространственного интервала к конечному использован метод «периодического сдвига». Оценка устойчивости получена из численных экспериментов.

Из численного моделирования процесса затвердевания разбавленного расплава Si-As получены профили концентрации и фазового поля, а также коэффициент распределения примеси на фронте затвердевания в зависимости от величины переохлаждения. Для проверки адекватности результатов численных экспериментов использовано аналитическое выражение для коэффициента распределения как функции переохлаждения, полученное из точного решения локально-неравновесной модели с резкой границей. Исследовано влияние параметров модели на процесс затвердевания и поведение численных решений вблизи диффузной границы.

We consider a locally nonequilibrium process of solidification for a supercooled binary melt. For sake of simplicity, it is assumed, that the solidifying binary system is at constant temperature and pressure. Also there are two phases corresponding to the solid and the liquid states. The mathematical description of the solidification process is based on the phase-field model that generalizes the approach of Plapp (M. Plapp, Phys. Rev. E 84, 031601 (2011)) to the case of locally nonequilibrium processes. We use the method of extended irreversible thermodynamics to derive thermodynamically consistent equations of the model, in contrast to the phenomenological approach of Plapp. A concentration as a dynamic variable (and not the chemical potential of the impurity) is another difference from Plapp's model. The equivalence of describing the process of solidification through the concentration field and through the chemical potential of the system is shown in the framework of the resulting model. In view of the smallness of the relaxation times, the present model is reduced to the singular-perturbed system of partial differential parabolic equations describing the dynamics of concentration and phase fields. In the paper, it is assumed that the description of the thermodynamic equilibrium states on the basis of the experimentally obtained Gibbs potentials is given.

To verify the model, the numerical simulation of the one-dimensional problem of solidification of the melt was performed in the approximation of the diluted melt Si-As, which had been repeatedly investigated experimentally. In this paper, we propose a gradient-stable explicit method of integrating equations of the second order of accuracy in time in order to solve the system of singularly-perturbed equations numerically. We reduced an infinite space interval to a finite interval by the method of «periodic translation». The estimation of stability was performed using numerical experiments.

The concentration profile, the phase-field profile and the distribution coefficient of the impurity at the front of solidification depending upon the value of supercooling were obtained from the numerical simulation of the solidification process for diluted melt Si-As. An analytical expression for the distribution coefficient as a function of supercooling that follows from the locally nonequilibrium model with a sharp interface was used to test the adequacy of the results of numerical experiments. The effect of the model parameters on the solidification process and behavior of the numerical solutions near the diffuse boundary were investigated.