Все выпуски

В ограниченной по переменной $z$ области, имеющей слабо горизонтальную неоднородность, исследуется задача определения сверточного ядра $k(t,x)$, $t>0$, $x\in {\Bbb R}$, входящего в гиперболическое интегро-дифференциальное уравнение второго порядка. Предполагается, что это ядро слабо зависит от переменной $x$ и разлагается в степенной ряд по степеням малого параметра $\varepsilon$. Построен метод нахождения первых двух коэффициентов $k_{0}(t)$, $k_{1}(t)$ этого разложения по заданным первым двум моментам по переменной $x$ решения прямой задачи при $z=0$.

The problem of determining the convolutional kernel $k(t,x)$, $t>0$, $x \in {\Bbb R}$, included in a hyperbolic integro-differential equation of the second order, is investigated in a domain bounded by a variable $z$ and having weakly horizontal heterogeneity. It is assumed that this kernel weakly depends on the variable $x$ and decomposes into a power series by degrees of a small parameter $\varepsilon$. A method for finding the first two coefficients $k_{0}(t)$, $k_{1}(t)$ of this expansion is constructed according to the given first two moments in the variable $x$ of the solution of the direct problem at $z=0$.

Рассматривается одномерная обратная задача определения ядра интегрального оператора свертки в волновом уравнении на отрезке для сред с дисперсией. Прямая задача представляет собой начально-краевую задачу одновременного нахождения потенциала скорости и смещения точек границы среды. В качестве граничных условий используются условия акустического управления. В качестве дополнительной информации для постановки обратной задачи задается интегральное условие переопределения. Обратная задача сводится к эквивалентной задаче исследования разрешимости замкнутой системы интегро-дифференциальных уравнений вольтерровского типа с нулевыми граничными условиями. С помощью техники оценки интегральных операторов и принципа сжимающих отображений в пространствах Соболева доказана локальная теорема существования и единственности решения обратной задачи.

The one-dimensional inverse problem of determining the kernel of the integral convolution operator in the wave equation on a segment for media with dispersion is considered. The direct problem is an initial-boundary value problem of simultaneously finding the velocity potential and the displacement of the boundary points of the medium. The acoustic control conditions are used as boundary conditions. An integral overdetermination condition is specified as additional information for setting the inverse problem. The inverse problem is reduced to an equivalent problem of studying the solvability of a closed system of integro-differential equations of the Volterra type with zero boundary conditions. Using the technique of estimating integral operators and the principle of contractive mappings in Sobolev spaces, a local theorem of existence and uniqueness of a solution to the inverse problem is proved.