Все выпуски

Рассматривается модель хаотического движения пластинки в вязкой жидкости, описываемая колебательной системой трех обыкновенных дифференциальных уравнений с квадратичной нелинейностью. В ходе бифуркационного исследования особых точек системы построены карты типов особых точек и найдено уравнение поверхности в пространстве параметров диссипации и циркуляции, на которой происходит бифуркация Андронова-Хопфа рождения предельного цикла. При дальнейшем изменении параметров вблизи поверхности Андронова-Хопфа найдены каскады бифуркаций удвоения периода цикла Фейгенбаума и субгармонические каскады Шарковского, заканчивающиеся рождением цикла периода три. Получены выражения для седловых чисел седлоузла и двух седлофокусов и построены их графики в пространстве параметров. Показано, что в системе реализуются гомоклинические каскады бифуркаций при разрушении гомоклинических траекторий седлофокусов. Существование гомоклинических траекторий седлофокусов доказано численно-аналитическим методом. Графики старшего показателя Ляпунова и бифуркационные диаграммы показывают, что при изменении коэффициентов диссипации система в несколько этапов переходит к хаосу.

We consider the model of chaotic motion of a plate in a viscous fluid, described by an oscillatory system of three ordinary differential equations with a quadratic nonlinearity. In the course of the bifurcation study of singular points of the system, maps of the types of singular points are constructed and a surface equation is found in the space of dissipation and circulation parameters on which the Andronov-Hopf bifurcation of the limit cycle creation takes place. With a further change in the parameters near the Andronov-Hopf surface, cascades of the period doubling doubling of the Feigenbaum cycle and the Sharkovsky subharmonic cascades, ending with the creation of a cycle of period three, are found. Expressions are obtained for saddle numbers of the saddle-node and two saddle-foci and their plots are plotted in the parameter space. It is shown that homoclinic cascades of bifurcations are realized in the system with the destruction of homoclinic trajectories of saddle-foci. The existence of homoclinic trajectories of saddle-foci is proved by a numerical-analytical method. The graphs of the largest Lyapunov exponent and the bifurcation diagrams show that when the dissipation coefficients change, the system switches to chaos in several stages.

На основе модели Колмогорова «хищник–жертва» предложена система для описания динамики трех видов: жертвы $x(t)$, потребляющего её хищника $y(t)$ и суперхищника $z(t)$, питающегося обоими видами. Учтена нелинейная зависимость от численности жертв коэффициентов роста всех трех видов, правая часть системы дифференциальных уравнений первого порядка содержит 10 вещественных коэффициентов. Аналитически найдены условия на параметры суперхищника, при которых система является косимметричной и возникает однопараметрическое семейство решений дифференциальных уравнений. Мультистабильность реализуется в виде семейств равновесий и периодических решений (предельных циклов). Каждое решение может быть получено из начальных данных, принадлежащих соответствующему бассейну. Наличие нуля в спектре устойчивости равновесий и близких к единице двух мультипликаторов для предельных циклов подтверждает теоретические выводы о существовании континуума решений. При нарушении соотношений на параметры системы происходит разрушение семейств решений и возникает конечное число изолированных равновесий и предельных циклов. В такой ситуации динамический процесс установления равновесия или выхода на изолированный предельный цикл может занимать много времени. При этом динамика происходит в окрестности семейства, исчезнувшего в результате разрушения косимметрии, то есть сохраняется память системы о семействе.

Based on the Kolmogorov “predator–prey” model, a system is proposed for describing the dynamics of three species: the prey $x(t)$, the predator $y(t)$ that consumes it, and the superpredator $z(t)$ that feeds on both species. The nonlinear dependence of the growth rates of all three species on the number of prey is taken into account; the right-hand side of the first-order differential equation system contains 10 real coefficients. The conditions on the superpredator parameters under which the system is cosymmetric and a one-parameter family of solutions to the differential equations arises are analytically found. Multistability is realized in the form of families of equilibria and periodic solutions (limit cycles). Each solution can be obtained from the initial data belonging to the corresponding basin of attraction. The presence of zero in the stability spectrum of equilibria and two multipliers close to one for limit cycles confirms the theoretical conclusions about the existence of a continuum of solutions. When the relationships on the parameters of the system are violated, families of solutions are destroyed and a finite number of isolated equilibria and limit cycles arise. In such a situation, the dynamic process of establishing equilibrium or reaching an isolated limit cycle can take a long time. In this case, the dynamics occur in the vicinity of the family that disappeared as a result of the destruction of cosymmetry, i.e., the system's memory of the family is preserved.

В работе рассматривается краевая задача для нелинейного эволюционного уравнения в частных производных, приведенная в перенормированном виде. Данная краевая задача возникает в механике роторных систем и описывает поперечные колебания вращающегося ротора постоянного сечения из вязкоупругого материала, концы которого шарнирно закреплены. Изучен вопрос об устойчивости нулевого состояния равновесия, найдено критическое значение скорости вращения ротора, при превышении которого возникают незатухающие колебания. Найдены точные решения изучаемой краевой задачи в виде одномодовых по пространственной переменной и периодической по времени функций. Выведены условия устойчивости таких решений, а также в ряде случаев дан анализ условий устойчивости. В работе показано отсутствие многомодовых периодических по времени решений. Проанализированы базовые, но важные с прикладной точки зрения частные случаи данной нелинейной краевой задачи. Все результаты анализа нелинейной краевой задачи носят аналитический характер. Их вывод опирается на качественную теорию бесконечномерных динамических систем.

We consider a boundary-value problem for the nonlinear evolution partial differential equation, given in renormalized form. This problem appears in rotary system mechanics and describes the transverse vibrations of the rotating rotor of a constant cross-section from a viscoelastic material whose ends are pivotally fixed. The question of the stability of the zero equilibrium state is studied, the critical value of the rotor speed is found, above which continuous oscillations occur. Exact solutions of the boundary-value problem are found in the form of single-mode functions with respect to the spatial variable and functions periodic in time. The stability conditions for such solutions are derived, and in some cases an analysis of the stability conditions is given. The paper shows the absence of multimode time-periodic solutions. The basic and important (from an applied point of view) particular cases of this nonlinear boundary-value problem are analyzed. All the results of the analysis of a nonlinear boundary-value problem are analytical. Their conclusion is based on the qualitative theory of infinite-dimensional dynamical systems.

При движении тяжелой частицы в вязкой среде сила сопротивления, вообще говоря, зависит от числа Рейнольдса, следовательно, от модуля вектора скорости частицы относительно среды. Это приводит к нелинейному взаимодействию разных составляющих движения. Если оседающая в поле силы тяжести частица имеет и горизонтальную составляющую скорости, то эти две компоненты движения, влияя на число Рейнольдса, вносят вклад в коэффициент гидродинамического сопротивления и тем самым воздействуют друг на друга. Это может иметь значение, например, в приводном слое атмосферы при сильных ветрах, когда, вследствие упомянутого взаимодействия, время пребывания брызг в воздухе зависит, вообще говоря, и от их горизонтального движения. Для конкретного закона сопротивления исследована нелинейная модель взаимодействия двух составляющих движения. Расчеты показывают, что, хотя порядок величины скорости оседания частицы при учете этого взаимодействия не меняется, поправки к скорости могут быть заметными.

When a heavy particle moves in a viscous medium, the resistance force depends on the Reynolds number, therefore, on the modulus of the particle velocity vector in relation to medium. This leads to nonlinear interaction of different components of movement. If a particle settling in gravity field has also a horizontal velocity component, these two components of the movement, affecting the Reynolds number, contribute into the coefficient of hydrodynamic resistance and, thereby, affect each other. This can be important, for example, in the surface layer of the atmosphere over water under strong winds, when, due to the mentioned interaction, the stay time of spray in the air depends on a horizontal movement. For the specific resistance law, a nonlinear model of interaction between the two components of movement is studied. Calculations show that although the order of magnitude of the particle settling velocity accounting this interaction does not change, the velocity corrections can be noticeable.