Все выпуски

Для задачи Коши, связанной с нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением в гильбертовом пространстве $X$, получены достаточные условия точной управляемости в заданное конечное состояние (а также в заданные промежуточные состояния в промежуточные моменты времени) на произвольно фиксированном (без дополнительных условий) интервале времени при ограничении на величину нормы управления. Фактически, обобщается аналогичный результат, полученный автором ранее для случая операторного дифференциального уравнения со стационарным линейным оператором и линейно входящим управлением без ограничения на величину нормы. Так же, как и ранее, используются теорема Минти–Браудера, а также цепочечная технология последовательного продолжения решения управляемой системы до промежуточных состояний. В качестве примера (представляющего самостоятельный интерес) рассматривается сильно нелинейное псевдопараболическое уравнение в частных производных, описывающее эволюцию электрического поля в полупроводнике.

For a Cauchy problem associated with a nonlinear ordinary differential equation in a Hilbert space $X$, we obtain sufficient conditions for exact controllability to a given final state (as well as to given intermediate states at intermediate times) over arbitrarily fixed (without additional conditions) time interval under a constraint on the control norm value. This is a generalization of a similar result previously obtained by the author for the case of an operator differential equation with a stationary linear operator and linearly incoming control without a constraint on the norm. As before, the Minty–Browder theorem is used, as well as the chain technology for sequentially continuing the solution of the control system to intermediate states. As an example (of independent interest), a strongly nonlinear pseudoparabolic partial differential equation describing the evolution of an electric field in a semiconductor is considered.

Пусть $V$ — сепарабельное рефлексивное банахово пространство, непрерывно вложенное в гильбертово пространство $H$ и плотное в нем; $X=L_p(0,T;V)\cap L_{p_0}(0,T;H)$; $U$ — заданное множество управлений; $A\colon X\to X^*$ — заданный вольтерров оператор, радиально непрерывный, мотонный и коэрцитивный (вообще говоря, нелинейный). Для задачи Коши, связанной с управляемым эволюционным уравнением вида \[x^\prime+Ax=f[u](x),\quad x(0)=a\in H;\quad x\in W=\{ x\in X\colon x^\prime\in X^*\},\] где $u\in U$ — управление, $f[u]\colon \mathbf{C}(0,T;H)\to X^*$ — вольтерров оператор ($W\subset\mathbf{C}(0,T;H)$), доказана тотально (по множеству допустимых управлений) глобальная разрешимость при условии глобальной разрешимости некоторого функционально-интегрального неравенства в пространстве $\mathbb{R}$. Во многих частных случаях указанное неравенство может быть конкретизировано как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Фактически, развивается аналогичный результат, доказанный автором ранее для случая линейного оператора $A$ и $V=H=V^*$. Отдельно рассматриваются случаи компактного вложения пространств, усиления условия монотонности и совпадения тройки пространств $V=H=H^*$. В последних двух случаях доказывается также единственность решения. В первом случае применяется теорема Шаудера, в остальных — технология продолжения решения по времени (то есть продолжения вдоль вольтерровой цепочки). Приводятся конкретные примеры задания оператора $A$.

Let $V$ be a separable reflexive Banach space being embedded continuously in a Hilbert space $H$ and dense in it; $X=L_p(0,T;V)\cap L_{p_0}(0,T;H)$; $U$ be a given set of controls; $A\colon X\to X^*$ be a given Volterra operator which is radially continuous, monotone and coercive (and, generally speaking, nonlinear). For the Cauchy problem associated with controlled evolutionary equation as follows $$x^\prime+Ax=f[u](x),\quad x(0)=a\in H;\quad x\in W=\{x\in X\colon x^\prime\in X^*\},$$ where $u\in U$ is a control, $f[u]\colon \mathbf{C}(0,T;H)\to X^*$ is Volterra operator ($W\subset\mathbf{C}(0,T;H)$), we prove totally (with respect to a set of admissible controls) global solvability subject to global solvability of some functional integral inequality in the space $\mathbb{R}$. In many particular cases the above inequality may be realized as the Cauchy problem associated with an ordinary differential equation. In fact, a similar result proved by the author earlier for the case of linear operator $A$ and identity $V=H=V^*$ is developed. Separately, we consider the cases of compact embedding of spaces, strengthening of the monotonicity condition and coincidence of the triplet of spaces $V=H=H^*$. As to the last two cases, we prove also the uniqueness of the solution. In the first case we use Schauder theorem and in the last two cases we apply the technique of continuation of solution along with the time axis (i.e., continuation along with a Volterra chain). Finally, we give some examples of an operator $A$ satisfying our conditions.