Все выпуски

Получены аппроксимации нормальной производной потенциала простого слоя для двумерного уравнения Гельмгольца в приграничной области, включающей границу. Такие аппроксимации осуществимы для любой аналитически заданной границы класса $C^5$. Для их получения используются аналитическое интегрирование по гладкой компоненте функции расстояния, аддитивно-мультипликативный способ выделения особенности и кусочно-квадратичная интерполяция медленно изменяющихся функций. Доказано, что такие аппроксимации сходятся с кубической скоростью равномерно относительно расстояния до границы. Также доказано, что полуаналитические аппроксимации по аналогии с точной функцией терпят на границе разрыв, величина которого пропорциональна значениям интерполированной функции плотности. Теоретические выводы подтверждены результатами вычислений вблизи и на границе круговой области нормальной производной потенциала простого слоя.

Approximations of the normal derivative of the simple layer potential for the two-dimensional Helmholtz equation in a near-boundary region including the boundary are obtained. Such approximations are feasible for any analytically specified boundary of class $C^5$. To obtain them, analytical integration over the smooth component of the distance function, an additive-multiplicative method for extracting a singularity, and piecewise-quadratic interpolation of slowly varying functions are used. It is proved that such approximations converge uniformly with a cubic rate with respect to the distance to the boundary. It is also proved that semi-analytical approximations, by analogy with the exact function, suffer a discontinuity at the boundary, the magnitude of which is proportional to the values of the interpolated density function. The theoretical conclusions are confirmed by the results of calculations of the normal derivative of the simple layer potential near and on the boundary of a circular domain.

На основе кусочно-квадратичной интерполяции получены полуаналитические аппроксимации нормальной производной потенциала простого слоя вблизи и на границе двумерной области. Для вычисления интегралов, образующихся после интерполяции функции плотности, используется точное интегрирование по переменной $\rho =(r^{2} -d^{2} )^{1/2} $, где $d$ и $r$ — расстояния от наблюдаемой точки до границы области и до граничной точки интегрирования соответственно. Доказана устойчивая сходимость таких аппроксимаций с кубической скоростью равномерно вблизи границы класса $C^{5}$, а также на самой границе. Также доказано, что на границе аппроксимации по аналогии с точной функцией терпят разрыв, величина которого пропорциональна значениям интерполированной функции плотности, но могут быть доопределены на границе до функций, непрерывных или на замкнутой внутренней, или на замкнутой внешней приграничной области. Теоретические выводы о равномерной сходимости подтверждены результатами вычисления нормальной производной вблизи границы единичного круга.

On the basis of piecewise quadratic interpolation, semi-analytical approximations of the normal derivative of the simple layer potential near and on the boundary of a two-dimensional domain are obtained. To calculate the integrals formed after the interpolation of the density function, exact integration over the variable $\rho=(r^{2}-d^{2})^{1/2} $ is used, where $d$ and $r$ are the distances from the observed point to the boundary of the domain and to the boundary point of integration, respectively. The study proves the stable convergence of such approximations with cubic velocity uniformly near the boundary of the class $C^{5}$, as well as on the boundary itself. It is also proved that, by analogy with the exact function, the approximations suffer a discontinuity at the boundary, the magnitude of which is proportional to the values of the interpolated density function, but they can be extended on the boundary to functions that are continuous either on a closed internal border domain or on a closed external one. Theoretical conclusions about uniform convergence are confirmed by the results of calculating the normal derivative near the boundary of a unit circle.