Все выпуски

Рассматривается задача простого преследования группой преследователей двух убегающих при равных динамических возможностях всех участников и с фазовыми ограничениями на состояния убегающих в предположении, что убегающие используют одно и то же управление. Получены достаточные условия поимки.

A differential game of the group of persecutors and two evaders is considered at equal dynamic opportunities of all participants and under equal phase restrictions imposed on the states of evaders. Sufficient solvability conditions are derived proceeding on the assumption that the evaders use the same control.

Рассматривается линейная нестационарная дифференциальная игра преследования группы убегающих группой преследователей. Цель преследователей - поймать всех убегающих, цель убегающих - хотя бы одному уклониться от встречи. Все игроки обладают равными динамическими возможностями, геометрические ограничения на управление - строго выпуклый компакт с гладкой границей.

Рассматривается вопрос о минимальном количестве убегающих, достаточном для уклонения от заданного числа преследователей из любых начальных позиций. Для оценки сверху этого количества используются достаточные условия разрешимости глобальной задачи уклонения. В предположении, что для поимки одного убегающего достаточно принадлежности начальной позиции убегающего внутренности выпуклой оболочки начальных позиций преследователей, строится оценка снизу.

Полученная двухсторонняя оценка числа убегающих, достаточного для уклонения от встречи из любой начальной позиции от заданного числа преследователей, иллюстрируется примерами.

A linear non-stationary differential pursuit game with a group of pursuers and a group of evaders is considered. The pursuers' goal is to catch all evaders and the evaders' goal is at least for one of them to avoid contact with pursuers.

All players have equal dynamic capabilities, geometric constraints on the control are strictly convex compact set with smooth boundary. The point in question is the minimum number of evaders that is sufficient to evade a given number of pursuers from any initial position. Sufficient conditions for the solvability of the global problem of evasion are used as an upper estimate of this minimum. We assume that to capture one evader it suffices that the initial position of this evader lie in the interior of convex hull of initial positions of pursuers. Using this assumption we find a lower estimate of this minimum.

The obtained two-sided estimate of the number of evaders sufficient to avoid contact with a given number of pursuers from any initial position is illustrated by examples.

Естественным обобщением дифференциальных игр двух лиц являются конфликтно управляемые процессы с участием группы управляемых объектов (хотя бы с одной из противоборствующих сторон). При этом наибольшую трудность для исследований представляют задачи конфликтного взаимодействия между двумя группами управляемых объектов. Специфика этих задач требует создания новых методов их исследования. В данной работе рассматривается нелинейная задача группового преследования группы жестко скоординированных (то есть использующих одинаковое управление) убегающих при условии, что маневренность убегающих выше. Цель убегающих - обеспечить мягкое убегание всей группы. Под мягким убеганием понимается несовпадение геометрических координат, ускорений и так далее для убегающего и всех преследователей. Для любых начальных позиций участников построено позиционное управление, обеспечивающее мягкое убегание от группы преследователей всех убегающих.

A natural generalization of differential two-person games is conflict controlled processes with a group of controlled objects (from at least one of the conflicting sides). The problems of conflict interaction between two groups of controlled objects are the most difficult-to-research. The specificity of these problems requires new methods to study them. This paper deals with the nonlinear problem of pursuing a group of rigidly coordinated evaders (i.e. using the same control) by a group of pursuers under the condition that the maneuverability of evaders is higher. The goal of evaders is to ensure weak evasion for the whole group. By weak evasion we mean non-coincidence of geometrical coordinates, speeds, accelerations and so forth for the evader and all pursuers. The position control is constructed for all possible initial positions of the participants; this control guarantees a weak evasion for all evaders.

Рассматривается линейная задача уклонения одного убегающего от группы преследователей, при условии, что игроки обладают равными динамическими возможностями, убегающий не покидает пределы выпуклого конуса. Доказывается, что если число преследователей меньше размерности пространства, то убегающий уклоняется от встречи на интервале [0, ∞).

We consider a linear problem of evasion of one evador from the group of persecutors provided that players posess equal dynamic possibilities and evador does not leave a convex cone. It is proved, that if the number of persecutors is less then dimension of scape then the evador evades from a meeting on a positive semiaxis.

Рассматривается задача простого группового преследования группы из m убегающих (m ≥ 1) с равными возможностями. Говорят, что в задаче преследования одного убегающего (m = 1) происходит многократная поимка, если заданное количество преследователей ловят его, при этом моменты поимки могут не совпадать. В задаче об одновременной поимке одного убегающего требуется, чтобы моменты поимки совпадали. В работе введено понятие одновременной многократной поимки группы убегающих (m ≥ 2). Одновременная многократная поимка всей группы убегающих происходит, если в результате преследования происходит одновременная многократная поимка каждого убегающего, причем в один и тот же момент времени. В терминах начальных позиций участников получены необходимые и достаточные условия одновременной многократной поимки всей группы убегающих.

The present paper deals with the problem of simple pursuit of group of m evaders (m ≥ 1) with equal opportunities. We say that a multiple capture in the problem of pursuit of one evader (m = 1) holds if the specified number of pursuers catch him, possibly at different times. The problem of the simultaneous capture of one evader requires that capture moments coincide. We introduce the concept of multiple simultaneous capture of the whole group of evaders (m ≥ 2). We say that the simultaneous multiple capture of the whole group of evaders holds if the simultaneous multiple capture of every evader holds in the same time. We obtain necessary and sufficient conditions for simultaneous multiple capture of the whole group of evaders in terms of initial positions of the participants.

Рассматривается линейная задача преследования группой преследователей двух убегающих при равных динамических возможностях всех участников и с фазовыми ограничениями на состояния убегающих в предположении, что убегающие используют одно и то же управление. Движение каждого участника имеет вид $\dot z+a(t)z=w.$ Геометрические ограничения на управления - строго выпуклый компакт с гладкой границей, терминальные множества - начало координат. Предполагается, что убегающие в процессе игры не покидают пределы выпуклого конуса. Целью преследователей является поимка двух убегающих, цель группы убегающих противоположна. Говорят, что в задаче преследования происходит поимка, если существуют два преследователя, из заданной группы преследователей, которые ловят убегающих, при этом моменты поимки могут не совпадать. В терминах начальных позиций получены достаточные условия поимки двух убегающих. Приведены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

We consider a linear problem of pursuing two evaders by a group of persecutors in case of equal dynamic opportunities of all participants and under phase restrictions imposed on the states of evaders. We assume that the evaders use the same control. The movement of each participant has the form $ \dot z + a (t) z = w. $ Geometric constraints on the control are strictly convex compact set with smooth boundary, and terminal sets are the origin of coordinates. It is assumed that the evaders do not leave the convex cone. The aim of a group of pursuers is to capture two evaders; the aim of a group of evaders is opposite. We say that a capture holds in the problem of pursuing two evaders if among the specified number of pursuers there are two of them who catch the evaders, possibly at different times. We obtain sufficient conditions for capturing two evaders in terms of initial positions. The results obtained are illustrated by examples.

Рассматривается задача уклонения убегающего от группы преследователей в конечномерном евклидовом пространстве. Движение описывается линейной системой дробного порядка вида $$\left({}^C D^{\alpha}_{0+}z_i\right)=A z_i+u_i-v,$$ где ${}^C D^{\alpha}_{0+}f$ - производная по Капуто порядка $\alpha\in(0,1)$ функции $f$, $A$ - простая матрица. В начальный момент времени заданы начальные условия. Управления игроков ограничены одним и тем же выпуклым компактом. Убегающий дополнительно стеснен фазовыми ограничениями - выпуклым многогранным множеством c непустой внутренностью. В терминах начальных позиций и параметров игры получены достаточные условия разрешимости задачи уклонения.

The paper deals with the problem of avoiding a group of pursuers in the finite-dimensional Euclidean space. The motion is described by the linear system of fractional order $$\left({}^C D^{\alpha}_{0+}z_i\right)=A z_i+u_i-v,$$ where ${}^C D^{\alpha}_{0+}f$ is the Caputo derivative of order $\alpha\in(0,1)$ of the function $f$ and $A$ is a simple matrix. The initial positions are given at the initial time. The set of admissible controls of all players is a convex compact. It is further assumed that the evader does not leave the convex polyhedron with nonempty interior. In terms of the initial positions and the parameters of the game, sufficient conditions for the solvability of the evasion problem are obtained.

Рассматривается задача преследования группы из m убегающих (m≥1) в конфликтно управляемом процессе с равными возможностями. Говорят, что в задаче преследования одного убегающего (m=1) происходит многократная поимка, если заданное количество преследователей ловят его, при этом моменты поимки могут не совпадать. В задаче об одновременной многократной поимке одного убегающего требуется, чтобы моменты поимки совпадали. Одновременная многократная поимка всей группы убегающих (m≥2) происходит, если в результате преследования происходит одновременная многократная поимка каждого убегающего, причем в один и тот же момент времени. В терминах начальных позиций участников получены необходимые и достаточные условия одновременной многократной поимки всей группы убегающих.

The present paper deals with the problem of pursuit of the group of m evaders (m≥1) in a conflict-controlled process with equal opportunities. We say that a multiple capture in the problem of pursuit of one evader (m=1) holds if the specified number of pursuers catch him, possibly at different times. The problem of the simultaneous multiple capture of one evader requires that capture moments coincide. We say that the simultaneous multiple capture of the whole group of evaders (m≥2) holds if the simultaneous multiple capture of every evader holds at the same time. We obtain necessary and sufficient conditions for simultaneous multiple capture of the whole group of evaders in terms of initial positions of the participants.

Рассматривается задача преследования группы жестко скоординированных убегающих в нестационарном конфликтно управляемом процессе с равными возможностями: $$\begin{array}{llllllllcccc} P_i & : & \dot x_i = A(t)x_i + u_i,& u_i \in U(t), & x_i(t_0) = X_i^0, & i = 1,2, \dots, n, \\ E_j & : & \dot y_j = A(t)y_j + v, & v \in U(t) , & y_j(t_0) = Y_j^0 , & j = 1,2, \dots, m. \\ \end{array}$$ Говорят, что в задаче преследования происходит многократная поимка, если заданное количество преследователей ловят убегающих, при этом моменты поимки могут не совпадать: $$x_\alpha (\tau_\alpha) = y_{j_\alpha}(\tau_\alpha), \quad \alpha \in \Lambda, \quad \Lambda \subset \{1,2, \dots, n\}, \quad |\Lambda| = b\quad (n \geqslant b \geqslant 1), \\ j_\alpha \subset \{1,2, \dots, m\}.$$ В задаче о нестрогой одновременной многократной поимке требуется, чтобы моменты поимки совпадали: $$x_\alpha (\tau) = y_{j_\alpha}(\tau), \quad \alpha \in \Lambda.$$ Одновременная многократная поимка происходит, если совпадают наименьшие моменты поимки: $$x_\alpha (\tau) = y_{j_\alpha}(\tau), \quad x_\alpha(s) \ne y_{j_\alpha}(s), \quad s \in [t_0, \tau), \quad \alpha \in \Lambda.$$ В данной работе получены необходимые и достаточные условия многократной и нестрогой одновременной многократной поимок.

The present paper deals with the problem of pursuit of a group of rigidly coordinated evaders in a nonstationary conflict-controlled process with equal opportunities $$\begin{array}{llllllllcccc} P_i & : & \dot x_i = A(t)x_i + u_i,& u_i \in U(t), & x_i(t_0) = X_i^0, & i = 1,2, \dots, n, \\ E_j & : & \dot y_j = A(t)y_j + v, & v \in U(t) , & y_j(t_0) = Y_j^0 , & j = 1,2, \dots, m. \\ \end{array}$$ We say that a multiple capture in the problem of pursuit holds if the specified number of pursuers catch evaders, possibly at different times $$x_\alpha (\tau_\alpha) = y_{j_\alpha}(\tau_\alpha), \quad \alpha \in \Lambda, \quad \Lambda \subset \{1,2, \dots, n\}, \quad |\Lambda| = b\quad (n \geqslant b \geqslant 1), \\ j_\alpha \subset \{1,2, \dots, m\}.$$ The problem of nonstrict simultaneous multiple capture requires that capture moments coincide $$x_\alpha (\tau) = y_{j_\alpha}(\tau), \quad \alpha \in \Lambda.$$ The problem of a simultaneous multiple capture requires that lowest capture moments coincide $$x_\alpha (\tau) = y_{j_\alpha}(\tau), \quad x_\alpha(s) \ne y_{j_\alpha}(s), \quad s \in [t_0, \tau), \quad \alpha \in \Lambda.$$ In this paper we obtain necessary and sufficient conditions for simultaneous multiple capture and nonstrict simultaneous multiple capture.

Рассматривается дифференциальная игра двух лиц с нефиксированным моментом окончания. Особенностью игры является наличие не только целевого множества, но и линии жизни, достигая которую второй игрок получает бесконечный выигрыш. Функционал платы зависит от траектории игроков и их управлений. Частными случаями рассматриваемой дифференциальной игры являются игры поимки и быстродействия. Для рассматриваемой игры построены универсальные позиционные стратегии в предположении, что связанная с дифференциальной игрой задача Дирихле для уравнения Гамильтона–Якоби допускает вязкостное проксимальное решение. Построение универсальных стратегий опирается на понятие проксимального градиента и использует подход Красовского–Субботина. Универсальность позиционных стратегий заключается в том, что для любой начальной точки из некоторого компакта позиционная стратегия одинаково эффективна. Кроме того, доказаны теоремы об оценке гарантированных результатов игроков.

A two-player differential game with an unfixed endpoint is considered. A special feature of the game is the presence of not only a target set but also a lifeline. If the second player steers the lifeline, then the payoff equals infinity. The payoff functional depends on the trajectory of the players and their controls. Special cases of the differential game under consideration are the pursuit–evasion game and time-optimal game. Universal positional strategies are constructed for the game under consideration under the assumption that the Dirichlet problem for the Hamilton–Jacobi equation, related to the differential game, admits a viscosity proximal solution. The construction of universal strategies is based on the concept of a proximal gradient and utilizes the Krasovsky–Subbotin approach. The universality of positional strategies means that for any initial point from a compact set, the feedback strategy is equally effective. In addition, theorems on the evaluation of the guaranteed result of the players are proved.