Все выпуски

Исследованы дифференциальные свойства минимаксного решения в одном классе плоских задач Дирихле для уравнения Беллмана. Класс задач определяется замкнутыми невыпуклыми телесными краевыми множествами, границы которых содержат псевдовершины — особые точки, связанные с сингулярностью минимаксного решения. Дифференциальные свойства решения зависят от порядка гладкости границы краевого множества в псевдовершинах и от мощности значений оператора метрической проекции на это множество. В работе разграничены ситуации, когда оператор имеет одноточечные значения и когда количество проекций больше одной. Средствами теории альфа-множеств с привлечением опорных шаров Ефимова–Стечкина исследованы особенности характеристической функции невыпуклого множества. Найдены формулы для ее предельных значений, которые в достаточно общем случае способствуют построению чебышёвского слоя краевого множества — области, примыкающей к краевому множеству, в которой минимаксное решение дифференцируемо. Приведен пример и его содержательная интерпретация с точки зрения оптимального управления.

The differential properties of the minimax solution are investigated in a class of plane Dirichlet problems for the Bellman equation. The class of problems is defined by closed non-convex solid boundary sets whose boundaries contain pseudovertices, which are singular points associated with the singularity of the minimax solution. The differential properties of the solution depend on the order of smoothness of the boundary of the boundary set at the pseudovertices and on the cardinality of the values of the metric projection operator onto this set. The paper distinguishes between situations where the operator has single-point values and when the number of projections is greater than one. Using tools from the theory of alpha sets and Efimov–Stechkin support balls, the features of the characteristic function of a non-convex set are investigated. Formulas for its limit values are found, which in a fairly general case facilitate the construction of a Chebyshev layer of the boundary set, which is a region adjacent to the boundary set in which the minimax solution is differentiable. An example and its meaningful interpretation from the point of view of optimal control are given.

Рассматривается шар Чаплыгина на плоскости, на который действует сила трения, удовлетворяющая условию: (F,u)<0 при u≠0 и F=0 при u=0, где u - скорость проскальзывания шара. Контакт с опорной плоскостью предполагается точечным (иными словами, отсутствуют пятно контакта и момент трения верчения). Основной задачей работы является нахождение множества возможных стационарных (финальных) движений и определение типов их устойчивости.

В работе показано, что стационарных движений возможно ровно три; все они представляют собой равномерные и прямолинейные качения шара по прямой без проскальзывания, при которых он вращается вокруг одной из главных осей тензора инерции. При этом вращение вокруг оси наибольшего момента инерции устойчиво, вокруг среднего и наименьшего  неустойчиво.

The Chaplygin ball on a plane is considered under the action of the friction force which satisfies the following condition: (F,u)<0 as u u≠0 and F=0 as u=0, where u is the gliding velocity. The ball is supposed to have a point contact with the supporting plane (this means that the contact spot is absent and also there is no rotation friction torque). The main task of the paper is to determine a set of possible stationary (or final) motions and their stability.

In the current paper it is shown that exactly three stationary motions are possible; these motions represent straightline uniform rolling motions of the ball without sliding, at that the ball is rotating around one of the primary axes of the inertia tensor. Rotation around the axis of the greatest moment of inertia is stable, around the middle one and the lowest one it is unstable.