Все выпуски

Проводится исследование динамической эволюции шести моделей рассеянных звездных скоплений по данным о фазовых координатах звезд, полученных при численном интегрировании уравнений движения звезд. Для этой цели используются фазовые координаты звезд для 100 равноотстоящих моментов времени от начального t=0 до t_m≅5.1τ_vr (τ_vr - начальное время бурной релаксации скопления). На этом интервале времени ошибки, связанные с округлением и экспоненциальным нарастанием возмущений в исходных координатах звезд, существенно не сказываются на статистических выводах о характере движения звезд скопления. Метод исследования основан на вычислениях взаимных корреляционных функций C_1,2=C_1,2(τ,r) (τ - временная задержка, r - расстояние между точками) для флуктуаций фазовой плотности и применении Фурье-преобразования функций C_1,2 для расчета спектра частот и дисперсионных соотношений. Анализ графиков функций C_1,2, спектров частот и дисперсионных кривых подтверждает существование в моделях волн фазовой плотности, позволяет установить полный спектр радиальных колебаний фазовой плотности, отделить устойчивые колебания от неустойчивых, рассчитать периоды колебаний фазовой плотности и инкременты нарастания неустойчивых колебаний фазовой плотности. Подтверждены теоретические оценки периодов известных неустойчивых гомологических колебаний ядер моделей скоплений. Указываются некоторые астрофизические приложения полученных результатов: возникновение иррегулярных структур в рассеянных скоплениях, слабая турбулентность в движениях звезд скоплений.

The investigation of dynamical evolution of 6 open cluster models is carried out on data about phase coordinates of stars received by numerical integration of stellar motion equations. To attain the aim the phase coordinates of stars for 100 equidistant moments of time from the initial t=0 to t_m≅5.1τ_vr (τ_vr is the initial time of cluster violent relaxation), are used. Over the interval of time the rounding-off errors and errors because of exponential growth of initial coordinates perturbations do not affect statistical conclusions about motion behavior of cluster stars. The investigation method is based on calculations of mutual correlation functions C_1,2=C_1,2(τ,r) (τ  is the time delay, r is the distance between the points) for phase density fluctuations and application of Fourier transformations of functions C_1,2 in order to calculate frequency spectra and dispersion relations. The analysis of graphics C_1,2, frequency spectra and dispersion curves confirms the existence of phase density waves in cluster models, allows to get a complete spectrum of phase density radial oscillations, to separate stable and unstable oscillations, to calculate the periods of phase density oscillations and increments of unstable phase density oscillations. The theoretical estimations of periods of known unstable homological core oscillations of cluster models are confirmed. Pointed out are some astrophysical applications of results received: the origin of irregular structures in open clusters, weak turbulence of cluster star motions.

Представлены результаты численных исследований собственных колебаний усеченных прямых конических оболочек вращения, полностью заполненных идеальной сжимаемой жидкостью. Толщина оболочек непостоянна вдоль образующей и изменяется по различным законам. Поведение упругой конструкции и жидкой среды описывается в рамках классической теории оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа–Лява, и уравнений Эйлера. Уравнения движения оболочки совместно с соответствующими геометрическими и физическими соотношениями сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно новых неизвестных. Акустическое волновое уравнение, записанное относительно гидродинамического давления, преобразуется к системе дифференциальных уравнений с помощью метода обобщенных дифференциальных квадратур. Решение сформулированной краевой задачи осуществляется методом ортогональной прогонки Годунова и сводится к вычислению собственных частот колебаний. Для этой цели используется сочетание пошаговой процедуры с последующим уточнением найденных значений в полученном диапазоне методом Мюллера. Достоверность получаемых результатов подтверждена сравнением с известными численными решениями. Для оболочек с различными углами конусности и комбинациями граничных условий (свободное опирание, жесткое и консольное закрепления) исследованы зависимости низших частот колебаний, полученных при степенном (линейном и квадратичном, имеющих симметричную и несимметричную формы) и гармоническом (с положительной и отрицательной кривизной) изменении толщины. Оценено влияние граничных условий на возможность существования конфигураций (угол конусности, закон изменения толщины, отношение максимальной и минимальной толщины профиля), обеспечивавших повышение фундаментальной частоты по сравнению с оболочками постоянной толщины при ограничениях на вес конструкции.

The article presents the results of numerical studies of natural vibrations of truncated straight conical shells of revolution completely filled with an ideal compressible fluid. The shell thickness is not constant along the generatrix and changes according to various laws. The behavior of the elastic structure and liquid medium is described in the framework of the classical shell theory, which is based on the Kirchhoff–Love hypotheses and the Euler equations. The equations of shell motion together with the corresponding geometric and physical relations are reduced to a system of ordinary differential equations with respect to new unknowns. The acoustic wave equation written with respect to the hydrodynamic pressure is transformed to a system of differential equations using the method of generalized differential quadrature. The solution of the formulated boundary value problem is developed by the Godunov orthogonal sweep method and is reduced to the calculation of natural vibrational frequencies. To this end, a step-by step computational procedure is applied in combination with the subsequent refinement of the found values in the obtained range by the Muller method. The validity of the results obtained is verified by comparison with the known numerical solutions. For shells with different cone angles and combinations of boundary conditions (free support, rigid clamping and cantilevered support), the dependence of the lowest vibration frequencies obtained with a power (linear and quadratic, having symmetric and asymmetric forms) and harmonic (with positive and negative curvature) thickness change were investigated. The influence of boundary conditions on the possibility of the existence of configurations (cone angle, law of thickness variation, ratio of maximum or minimum cross-section thickness) that ensured an increase in the fundamental frequency compared to shells of constant thickness with restrictions on the weight of the structure was estimated.

Рассматривается движение частиц вязкой несжимаемой жидкости, вызванное распространением по свободной поверхности волны малой амплитуды. Получены уравнения движения жидких частиц при наличии бегущей или стоячей волны на поверхности бесконечно глубокого слоя. При распространении бегущей волны траектории имеют вид спирали, центр которой соответствует состоянию покоя. Влияние вязкости проявляется как в уменьшении амплитуды колебаний со временем, так и в отличии формы траекторий частиц, находящихся вблизи свободной поверхности и при заглублении. В случае стоячей волны движение каждой частицы происходит по отрезкам, длина которых с течением времени уменьшается. Направление движения изменяется от вертикального в пучностях до горизонтального в узлах.

The motion of the particles of a viscous incompressible fluid caused by the proliferation of free surface waves of small amplitude is considered. The equations of motion of fluid particles in the presence of a traveling or a standing wave on the surface of an infinitely deep layer are obtained. At the propagation of a traveling wave the trajectories are spirals the centers of which correspond to a state of rest. The effect of viscosity is manifested as a decrease in the amplitude of oscillations over time, as well as by the fact that the trajectories of particles near the free surface and at burial are of different form. In the case of a standing wave the motion of each particle goes at intervals the length of which decreases with time. The direction of motion changes from the vertical at the antinodes to the horizontal at the nodes.

Рассмотрена нелинейная задача о распространении волн по свободной поверхности слоя вязкой несжимаемой жидкости бесконечной глубины в плоском случае. С помощью метода малого параметра данная нелинейная задача раскладывается на задачи в первых двух приближениях, которые последовательно разрешаются. Получены нелинейные выражения для компонент вектора скорости, динамического давления и формы свободной поверхности. Изучается движение частиц вязкой жидкости, вызванное распространением волны по свободной поверхности. Установлено, что вязкость жидкости оказывает существенное влияние на форму траекторий жидких частиц, которое проявляется как в уменьшении амплитуды колебаний с течением времени, так и в отличии траекторий вблизи свободной поверхности и при заглублении. Исследован нелинейный эффект Стокса, который заключается в наличии приповерхностного течения.

The paper deals with the nonlinear problem of wave propagation on a free surface of an infinitely deep layer of viscous incompressible fluid on a plane. Using the method of a small parameter, this nonlinear problem is decomposed into problems at the first two approximations which are solved one by one. Nonlinear expressions for the components of a velocity vector, the dynamic pressure and the shape of a free surface are obtained. The motion of viscous fluid particles caused by wave propagation on a free surface is investigated. It is found that the viscosity of a liquid has significant effect on the shape of the trajectories of liquid particles, which is manifested as a decrease in the amplitude of oscillations over time, and in the trajectories dissimilarity near the free surface, and at the deepening. The nonlinear Stokes effect that indicates the presence of near-surface currents is analyzed.

Рассматривается движение жидкости, вызванное взаимодействием набегающей гравитационной волны, распространяющейся по свободной поверхности слоя вязкой несжимаемой жидкости, с круговым цилиндром, имеющим вертикальные образующие. Нелинейная краевая задача, описывающая такое движение, сведена к задаче для вертикальной компоненты вектора скорости, которая представляется в виде суммы потенциальной и вихревой составляющей. Получено решение данной задачи для случая колебаний малой амплитуды. Проведено сравнение поля скоростей для вязкой и идеальной жидкости.

The motion of fluid due to the interaction of an incident gravitational wave spreading on the surface of viscous incompressible fluid with a circular cylinder having vertical elements is considered. A nonlinear boundary-value problem is reduced to determining the vertical component of a velocity vector represented by a sum of potential and rotational parts. The problem is solved for the small-amplitude oscillations. The comparison of the velocity field between the ideal and viscous liquids is made.