О спектре периодического оператора Шредингера с потенциалом из пространства Морри

 pdf (354K)

Рассматривается периодический оператор Шредингера ĤA+V в Rn, n≥3. На векторный потенциал A накладываются ограничения, которые, в частности, выполнены, если потенциал A принадлежит классу Соболева Hqloc(Rn;Rn), 2q>n-1, а также в случае, когда Σ ||AN||Cn<+∞, где AN – коэффициенты Фурье потенциала A. Доказана абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Шредингера ĤA+V для скалярных потенциалов V из пространства Морри L2,p(Rn), p∈((n-1)/2,n/2], для которых ||ΧBr(x)V||2,pε0 при всех достаточно малых r>0 и всех xRn, где число ε0=ε0(n,p;A)>0 зависит от векторного потенциала A, Br(x) – замкнутый шар радиуса r>0 с центром в точке xRn, ΧΚ – характеристическая функция множества KRn, ||.||2,p
норма в пространстве L2,p(Rn). Пусть K – элементарная ячейка решетки периодов потенциалов A и V, K* – элементарная ячейка обратной решетки. Оператор ĤA+V  унитарно эквивалентен прямому интегралу операторов ĤA(k)+V, k∈2πK*, действующих в L2(K). Последние операторы рассматриваются также при комплексных векторах k+ik’∈Cn. При доказательстве абсолютной непрерывности спектра оператора ĤA+V используется метод Томаса и оценки резольвенты операторов ĤA(k+ik’)+V при определенным образом выбираемых комплексных векторах k+ik’∈Cn с достаточно большой мнимой частью k’.

Ключевые слова: оператор Шредингера, абсолютная непрерывность спектра, периодический потенциал, пространство Морри
Цитата: Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2012, вып. 3, с. 25-47
DOI: 10.20537/vm120304

On the spectrum of a periodic Schrödinger operator with potential in the Morrey space

We consider the periodic Schrödinger operator ĤA+V in Rn, n≥3. The vector potential A is supposed to satisfy some conditions which are fullled whenever the potential A belongs to the Sobolev class Hqloc(Rn;Rn), 2q>n-1, and also in the case where Σ ||AN||Cn<+∞. Here AN are the Fourier coecients of the potentialA. We prove absolute continuity of the spectrum of the periodic Schrödinger operator ĤA+V provided that the scalar potential V belongs to the Morrey space L2,p(Rn), p∈((n-1)/2,n/2] and ||ΧBr(x)V||2,pε0 for all suciently small r>0 and all xRn, where the number ε0=ε0(n,p;A)>0 depends on the vector potential A, Br(x) is a closed ball of radius r>0 centered at the point xRn, ΧΚ a characteristic function of a set KRn, ||.||2,p the norm in the space L2,p(Rn). Let K be the fundamental domain of the period lattice (which is common for the potentials A and V), K the fundamental domain of the reciprocal lattice. The operator ĤA+V is unitarily equivalent to the direct integral of operators ĤA(k)+V, k∈2πK*, acting on the space L2(K). The last operators are also considered for complex vectors k+ik’∈Cn. To prove absolute continuity of the spectrum of the operator ĤA+V, we use the Thomas method. The main ingredients in the proof are the inequalities for the resolvent of the operators ĤA(k+ik’)+V which hold for some appropriate chosen complex vectors k+ik’∈Cn with suciently large imaginary part k’.

Keywords: Schrödinger operator, absolute continuity of the spectrum, periodic potential, Morrey space
Citation in English: Bulletin of Udmurt University. Mathematics, Mechanics, Computer Science, 2012, issue 3, pp. 25-47

Журнал индексируется в Scopus

Журнал входит в базы данных zbMATH, MathSciNet

Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science

Журнал включен в перечень ВАК.

Электронная версия журнала на Общероссийском математическом портале Math-Net.Ru.

Журнал включен в Crossref