О равномерно непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметра

 pdf (159K)

Утверждается, что если в дополнение к условиям существования и единственности решения x(t, t0, μ) n-векторной задачи Коши dx/dt = f(t, x, μ) (tI, μM), x(t0) = x0 и непрерывной зависимости его от параметра μM потребовать равностепенную непрерывность семейства {f(t, x, ·)}(t,x), то x(t, t0, μ) равномерно непрерывно зависит от параметра μ на открытом множестве M. Для линейной n×n-матричной задачи Коши dX/dt = A(t, μ)X + (t, μ) (tI, μM), X(t0, μ) = X0(μ) аналогичное утверждение доказывается в предположении равномерной произвольной малости интегралов ∫I||A(t, μ1) − A(t, μ2)|| dt и ∫I||(t, μ1) − (t, μ2)|| dt при достаточной малости ||μ1μ2|| (μ1, μ2M).

Ключевые слова: равномерная непрерывность, равностепенная непрерывность
Цитата: Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2012, вып. 4, с. 22-29
DOI: 10.20537/vm120402

On uniform continuous dependence of solution of Cauchy problem on parameter

We prove that if, in addition to the assumptions that guarantee existence, uniqueness and continuous dependence on parameter μ ∈ M of solution x(t, t0,μ) of a n-dimensional Cauchy problem dx/dt = f(t, x, μ) (t ∈ I, μ ∈ M), x(t0) = x0 one requires that the family {f(t, x, ·)}(t,x) is equicontinuous, then the dependence of x(t, t0,μ) on parameter μ in an open M is uniformly continuous. Analogous result for a linear n × n-dimensional Cauchy problem dX/dt = A(t, μ)X + (t, μ) (t ∈ I, μ ∈ M), X(t0, μ) = X0(μ is valid under the assumption that the integrals I||A(tμ1) − A(t, μ2)||dt and I||(t, μ1) − (t, μ2)||dt are uniformly arbitrarily small, provided that ||μ1 − μ2||, μ1, μ2 ∈ M, is sufficiently small.

Keywords: uniformly continuity, equipower continuity
Citation in English: Bulletin of Udmurt University. Mathematics, Mechanics, Computer Science, 2012, issue 4, pp. 22-29

Журнал индексируется в Web of Science (Emerging Sources Citation Index)

Журнал индексируется в Scopus

Журнал входит в базы данных zbMATH, MathSciNet

Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science

Журнал включен в перечень ВАК.

Электронная версия журнала на Общероссийском математическом портале Math-Net.Ru.

Журнал включен в Crossref