О решениях третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в полубесконечном цилиндре

 pdf (194K)

В полубесконечном цилиндре рассматривается поведение решений уравнения Лапласа, удовлетворяющих на боковой поверхности Γ цилиндра третьему краевому условию

(∂u/∂v+β(x)u)|Γ=0,

где β(x)≥0. Показано, что любое ограниченное решение на бесконечности стабилизируется к некоторой постоянной, обладая при этом конечным интегралом Дирихле.  Получены условия убывания в бесконечности коэффициента β(x) при u в граничном условии, при которых поведение решений близко к поведению решений задачи Дирихле (дихотомия решений, стремление ограниченного решения к 0) либо задачи Неймана (трихотомия решений, стремление ограниченных решений к постоянной, вообще говоря отличной от 0). Основное условие, определяющее близость третьей краевой задачи к задаче Дирихле либо Неймана, получено в терминах соответственно бесконечности или конечности  интеграла ∫Γx1β(x)dS, где переменная x1 соответствует направлению оси цилиндра.

Ключевые слова: уравнение Лапласа, третья краевая задача, дихотомия решений, трихотомия решений, стабилизация
Цитата: Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2013, вып. 2, с. 48-58
DOI: 10.20537/vm130205

On solutions of third boundary value problem for Laplace equation in a half-infinite cylinder

We study the asymptotic behavior at the infinity of solutions of the Laplace equation in a half-infinite cylinder providing that third boundary value condition is met

(∂u/∂v+β(x)u)|Γ=0,

where Γ is the lateral surface of the cylinder; β(x)≥0. We prove that any bounded solution is stabilized to some constant and its Dirichlet integral is finite. We describe a condition on boundary coefficient decrease at infinity which provides Dirichlet (dichotomy, stabilization to zero) or Neumann (trichotomy, stabilization to some constant which can be nonzero) problem type behavior of solutions. The main condition on boundary coefficient leading to Dirichlet or Neumann problem type is established in terms of divergence or convergence correspondingly of the integral Γx1β(x)dS, where the variable x1 corresponds to the direction of an axis of the cylinder.

Keywords: Laplace equation, third boundary value problem, dichotomy of solutions, trichotomy, stablization
Citation in English: Bulletin of Udmurt University. Mathematics, Mechanics, Computer Science, 2013, issue 2, pp. 48-58

Журнал индексируется в Web of Science (Emerging Sources Citation Index)

Журнал индексируется в Scopus

Журнал входит в базы данных zbMATH, MathSciNet

Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science

Журнал включен в перечень ВАК.

Электронная версия журнала на Общероссийском математическом портале Math-Net.Ru.

Журнал включен в Crossref