Аксиоматическое представление классов малости возмущений коэффициентов линейных дифференциальных систем

 pdf (237K)

Ряд задач в теории характеристических показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем

=A(t)x,    x∈Rn,    t≥0,

сводится к изучению влияния возмущений коэффициентов на характеристические показатели и другие асимптотические инварианты возмущенных систем

=A(t)y+Q(t)y,    y∈Rn,    t≥0.

При этом возмущения коэффициентов предполагаются принадлежащими некоторым классам малости, то есть определенным подмножествам множества KCn(R+) кусочно-непрерывных и ограниченных на положительной полуоси n×n-матриц. Обычно используемые классы возмущений, например бесконечно малые (исчезающие в бесконечности), экспоненциально убывающие либо суммируемые на полуоси, задаются конкретными аналитическими условиями, но общее определение класса малости в теории показателей отсутствует. На основе анализа свойств общепринятых классов малости нами предложено аксиоматическое определение класса малости возмущений коэффициентов линейных дифференциальных систем, которому удовлетворяет большинство таких классов, используемых в теории характеристических показателей. Это определение достаточно громоздко. Для более компактной характеристики классов малости предложено использовать следующее их свойство: множество возмущений удовлетворяет предложенному определению класса малости тогда и только тогда, когда оно является полной матричной алгеброй над произвольным нетривиальным идеалом кольца функций KC1(R+) (с поточечным умножением), содержащим хотя бы одну строго положительную функцию.

Ключевые слова: линейные системы, показатели Ляпунова, возмущения
Цитата: Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2014, вып. 1, с. 46-57
DOI: 10.20537/vm140104

Axiomatic representation for smallness classes of coefficient perturbations to linear differential systems

A number of problems in the Lyapunov exponent theory of linear differential systems

=A(t)x,    x∈Rn,    t≥0,

can be reduced to an investigation of the influence of coefficient perturbations on characteristic exponents and other asymptotic invariants of perturbed systems

=A(t)y+Q(t)y,    y∈Rn,    t≥0.

Here perturbations are assumed to be in some classes of smallness, i.e. certain subsets of the space KCn(R+) of piecewise continuous and bounded on the positive semiaxis n×n-matrices. Commonly used classes of perturbations, such as infinitesimal (vanishing at infinity), exponentially decaying or integrable on the positive semiaxis are defined by specific analytical conditions, but there is no general definition of the smallness class. By analyzing the desirable properties of commonly used classes, we propose an axiomatic definition for this notion, such that most of classes used in the theory of characteristic exponents satisfy this definition. Since the axioms are somewhat cumbersome, for more compact characterization we propose to use the following property of smallness classes: the set of perturbation satisfies the proposed definition if and only if it is a complete matrix algebra over an arbitrary non-trivial ideal of functional ring KC1(R+) (with the pointwise multiplication) containing at least one strictly positive function.

Keywords: linear systems, Lyapunov exponents, perturbations
Citation in English: Bulletin of Udmurt University. Mathematics, Mechanics, Computer Science, 2014, issue 1, pp. 46-57

Журнал индексируется в Web of Science (Emerging Sources Citation Index)

Журнал индексируется в Scopus

Журнал входит в базы данных zbMATH, MathSciNet

Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science

Журнал включен в перечень ВАК.

Электронная версия журнала на Общероссийском математическом портале Math-Net.Ru.

Журнал включен в Crossref