Все выпуски

Данная статья является продолжением работ Л.И. Родиной и Е.Л. Тонкова, в которых введено расширение понятия инвариантности множеств относительно управляемых систем и дифференциальных включений. Это расширение состоит в исследовании множеств, которые не являются инвариантными в «классическом» смысле, но обладают свойством статистической инвариантности, а также в изучении статистических характеристик множества достижимости управляемой системы.

В данной работе рассматриваются характеристики, связанные с инвариантностью заданного множества M(σ) относительно управляемой системы, которые отражают свойство равномерности пребывания множества достижимости системы в множестве M(σ) на конечном промежутке времени. Для управляемой системы со случайными коэффициентами получены оценки этих характеристик, выраженные в терминах функций Ляпунова, производной в силу дифференциального включения и динамической системы сдвигов. В частности, получены оценки, выполненные с вероятностью единица, для характеристик управляемой системы, которую будем называть системой с переключениями. Данную систему можно отождествить со стационарным случайным процессом, множество состояний которого конечно; для него заданы начальное вероятностное распределение и вероятности нахождения в каждом состоянии; длины промежутков между моментами переключения системы с одного состояния на другое являются случайными величинами с заданной функцией распределения. Рассматривается пример оценки исследуемых характеристик для линейной управляемой системы с переключениями.

This article is continuation of works of L.I. Rodina and E.L. Tonkov in which expansion of the concept of invariance for sets concerning control systems and differential inclusions is entered. This expansion consists in research of the sets which are not invariant in “classical’’ sense, but possess the property of statistical invariance, and also in studying of statistical characteristics for attainability set of control system.

We consider the characteristics connected with the invariance of the given set M(σ) with respect to the control system which display the property of uniformity of stay for the attainability set of the system in M(σ) on the finite time interval. We obtain estimates of these characteristics for systems with random coefficients in terms of Lyapunov functions, a derivative owing to differential inclusion and the dynamical system of shifts. In particular, we investigate the estimations with probability one for characteristics of control system which we will name a system with switchings. This system can be identified with a stationary random process whose set of states is finite; for this set there are given the initial probability distribution and the probabilities of finding in each state; the lengths of intervals between the moments of switching system from one state to another are random variables with a given distribution function. The example of estimation of the investigated characteristics for a linear control system with switchings is considered.