Согласованность дискретных линейных стационарных управляемых систем с неполной обратной связью специального вида для $n=5$

 pdf (282K)

Рассматривается линейная управляемая система с линейной неполной обратной связью с дискретным временем $$x(t+1)=Ax(t)+Bu(t), \quad y(t)=C^*x(t), \quad u(t)=Uy(t),$$ $$t\in\mathbb{Z},\quad (x,u,y)\in\mathbb{K}^n\times\mathbb{K}^m\times\mathbb{K}^k.$$

Здесь $\mathbb K=\mathbb C$ или $\mathbb K=\mathbb R$. Для замкнутой системы $$x(t+1)=(A+BUC^*)x(t), \quad x\in\mathbb K^n, \qquad(1)$$

вводится понятие согласованности. Это понятие является обобщением понятия полной управляемости на системы с неполной обратной связью. Исследуется свойство согласованности системы $(1)$ в связи с задачей управления спектром собственных значений, которая заключается в приведении характеристического многочлена матрицы стационарной системы $(1)$ с помощью стационарного управления $U$ к произвольному наперед заданному полиному. Для системы $(1)$ специального вида, когда матрица $A$ имеет форму Хессенберга, а в матрицах $B$ и $C$ все строки соответственно до $p$-й и после $p$-й (не включая $p$) равны нулю, свойство согласованности является достаточным условием глобальной управляемости спектра собственных значений. В предыдущих работах было доказано, что обратное утверждение верно для $n<5$ и неверно для $n>5$. В настоящей работе открытый вопрос для $n=5$ разрешен. Доказано, что при $n=5$ для системы с коэффициентами специального вида свойство согласованности является необходимым условием глобальной управляемости спектра собственных значений. Доказательство производится перебором всевозможных допустимых значений размерностей $m,k,p$. Свойство согласованности эквивалентно свойству полной управляемости «большой системы» размерности $n^2$. Для доказательства строится большая система, строится матрица управляемости $K$ этой системы размерности $n^2\times n^2mk$. Доказывается, что матрица $K$ имеет ненулевой минор порядка $n^2=25$. Для вычисления определителей больших порядков используется система Maple 15.

Ключевые слова: линейная управляемая система, неполная обратная связь, согласованность, управление спектром, стабилизация, дискретная система
Цитата: Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2014, вып. 3, с. 13-27
DOI: 10.20537/vm140302

Consistency of discrete-time linear stationary control systems with an incomplete feedback of the special form for $n=5$

We consider a discrete-time linear control system with an incomplete feedback $$x(t+1)=Ax(t)+Bu(t), \quad y(t)=C^*x(t), \quad u(t)=Uy(t),$$ $$t\in\mathbb{Z},\quad (x,u,y)\in\mathbb{K}^n\times\mathbb{K}^m\times\mathbb{K}^k,$$

where $\mathbb K=\mathbb C$ or $\mathbb K=\mathbb R$. We introduce the concept of consistency for the closed-loop system

$$x(t+1)=(A+BUC^*)x(t), \quad x\in\mathbb K^n. \qquad(1)$$

This concept is a generalization of the concept of complete controllability to systems with an incomplete feedback. We study the consistency of the system $(1)$ in connection with the problem of arbitrary placement of eigenvalue spectrum which is to bring a characteristic polynomial of a matrix of the system $(1)$ to any prescribed polynomial by means of the time-invariant control $U$. For the system $(1)$ of the special form where the matrix $A$ is Hessenberg and the rows of the matrix $B$ before the $p$-th and the rows of the matrix $C$ after the $p$-th (not including $p$) are equal to zero, the property of consistency is the sufficient condition for arbitrary placement of eigenvalue spectrum. In previous studies it has been proved that the converse is true for $n <5$ and false for $n> 5$. In this paper, an open question for $ n = 5 $ is resolved. For the system $(1)$ of the special form, it is proved that if $n = 5$ then the property of consistency is a necessary condition for the arbitrary placement of eigenvalue spectrum. The proof is carried out by direct searching of all possible valid values of dimensions $ m, k, p $. The property of consistency is equivalent to the property of complete controllability of a big system of dimension $n^2$. For the proof we construct the big system and the controllability matrix $K$ of this system of dimension $n^2\times n^2mk$. We show that the matrix $K$ has a nonzero minor of order $n^2 = 25$. We use Maple 15 to calculate the high-order determinants.

Citation in English: Bulletin of Udmurt University. Mathematics, Mechanics, Computer Science, 2014, issue 3, pp. 13-27

Журнал индексируется в Web of Science (Emerging Sources Citation Index)

Журнал индексируется в Scopus

Журнал входит в базы данных zbMATH, MathSciNet

Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science

Журнал включен в перечень ВАК.

Электронная версия журнала на Общероссийском математическом портале Math-Net.Ru.

Журнал включен в Crossref