Оценки устойчивости решений некоторых обратных задач для интегро-дифференциальных уравнений

 pdf (198K)

В статье исследуются вопросы устойчивости решений обратных задач для двух интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа. Теоремы существования и единственности решений этих задач, в малом, были получены и опубликованы автором ранее. Поэтому в данной работе рассматриваются исключительно вопросы устойчивости этих решений. В теореме 1 доказывается условная устойчивость решения обратной задачи об определении ядра интеграла для интегро-дифференциального уравнения

$$u_{tt}=u_{xx}-\int_0^tk(\tau)u(x,t-\tau)\, d\tau, \qquad (x,t)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}_+,$$ с начальными данными $u\big|_{t=0}=0,$ $u_t\big|_{t=0}=\delta(x)$ и по дополнительной информации о решении прямой задачи $u(0,t)=f_1(t)$, $u_x(0,t)=f_2(t).$ С этой целью обратная задача заменяется эквивалентной системой интегральных уравнений относительно неизвестных функций. Для доказательства теоремы применяется метод последовательных приближений. Далее, используются метод оценок интегральных уравнений и неравенство Гронуолла.

Аналогично доказываемая теорема 2 посвящается оценке условной устойчивости решения обратной задачи об определении ядра интеграла для того же интегро-дифференциального уравнения, в ограниченной по $x$ области $x\in(0,l),$ с начальными $u\big|_{t=0}=0,$ $u_t\big|_{t=0}=\delta'(x)$ и граничными условиями $(u_x-hu)\big|_{x=0}=0,$ $(u_x+Hu)\big|_{x=l}=0$, $t>0$. В этом случае дополнительная информация о решении прямой задачи задается в виде $u(0,t)=f(t)$, $t\geqslant 0$. Здесь $h,H$ - вещественные и конечные числа.

Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение, обратная задача, устойчивость, дельта-функция, ядро
Цитата: Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2014, вып. 3, с. 75-82
DOI: 10.20537/vm140307

Evaluation of the stability of some inverse problems solutions for integro-differential equations

The paper investigates the stability of inverse problems solutions for two integro-differential hyperbolic equations. Theorems of existence and uniqueness of these solutions (in the small) have been obtained and published earlier by author. Thus only stability problems of these solutions are considered in this paper. In Theorem 1 we prove conditional stability of the solution of the following inverse problem: determine the kernel of the integral for integro-differential equation

$$u_{tt}=u_{xx}-\int_0^tk(\tau)u(x,t-\tau)\, d\tau, \qquad (x,t)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}_+,$$

with initial data $u\big|_{t=0}=0$, $u_t\big|_{t=0}=\delta(x),$ and additional information about the direct problem solution $u(0,t)=f_1(t)$, $u_x(0,t)=f_2(t).$ The inverse problem is replaced by an equivalent system of integral equations for the unknown functions. To prove the theorem the method of successive approximations is used. Next, the method of estimating the integral equations and Gronwall's inequality are used.

In a similar manner we prove Theorem 2. It is devoted to estimating the conditional stability of the solution of kernel determination problem for the same integro-differential equation in a bounded domain with respect to $x,$ $x\in(0,l),$ with initial data $u\big|_{t=0}=0$, $u_t\big|_{t=0}=\delta'(x),$ and boundary conditions $(u_x-hu)\big|_{x=0}=0$, $(u_x+Hu)\big|_{x=l}=0$, $t>0$. In this case the additional information about the direct problem solution is given as $u(0,t)=f(t)$, $t\geqslant0$. Here $h$ and $H$ are finite real numbers.

Keywords: integro-differential equation, inverse problem, stability, delta function, kernel
Citation in English: Bulletin of Udmurt University. Mathematics, Mechanics, Computer Science, 2014, issue 3, pp. 75-82

Журнал индексируется в Web of Science (Emerging Sources Citation Index)

Журнал индексируется в Scopus

Журнал входит в базы данных zbMATH, MathSciNet

Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science

Журнал включен в перечень ВАК.

Электронная версия журнала на Общероссийском математическом портале Math-Net.Ru.

Журнал включен в Crossref