О рациональных приближениях функций и выборе собственных значений в алгоритме Вернера

 pdf (242K)

Работа посвящена изучению наилучших равномерных рациональных приближений (НРРП) непрерывных функций на компактных, в том числе конечных, подмножествах числовой оси $\mathbb{R}$. Показано, что НРРП на конечном множестве существует не всегда. Более подробно изучен алгоритм Гельмута Вернера поиска НРРП вида $P_m/Q_n = \sum\limits_{i=0}^m a_i x^i \big/ \sum\limits_{j=0}^n b_j x^j$ для функций на множестве из $N=m+n+2$ точек $x_1<\ldots<x_N$. Этот алгоритм может использоваться в алгоритме Ремеза поиска НРРП на отрезке. При работе алгоритма Вернера вычисляется $(n+1)$ вещественное собственное значение $h_1,\ldots,h_{n+1}$ для пучка матриц $A-hB$, где $A$ и $B$ - некоторые симметричные матрицы. Каждому собственному значению сопоставляется своя рациональная дробь вида $P_m/Q_n$, являющаяся кандидатом на наилучшее приближение. Поскольку не более одной из этих дробей свободны от полюсов на отрезке $[x_1, x_N]$, то возникает задача отыскания того собственного значения, которому соответствует рациональная дробь без полюсов. В работе показано, что если $m=0$, все значения $f(x_1),-f(x_2),\ldots,(-1)^{n+2} f(x_{n+2})$ различны и НРРП положительно (отрицательно) во всех точках $x_1,\ldots,x_{n+2}$, то это собственное значение занимает $[(n+2)/2]$-е ($[(n+3)/2]$-е) место по величине. Приведены три численных примера, иллюстрирующих это утверждение.

Ключевые слова: наилучшие равномерные рациональные приближения, рациональные приближения на конечных множествах, алгоритм Ремеза, алгоритм Вернера, выбор собственных значений в алгоритме Вернера
Цитата: Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2015, т. 25, вып. 3, с. 297-305
DOI: 10.20537/vm150301

On rational approximations of functions and eigenvalue selection in Werner algorithm

The paper deals with the best uniform rational approximations (BURA) of continuous functions on compact (and even finite) subsets of real axis $\mathbb{R}$.The authors show that BURA does not always exist. They study the algorithm of Helmut Werner in more detail. This algorithm serves to search for BURA of the type $P_m/Q_n = \sum\limits_{i=0}^m a_i x^i \big/ \sum\limits_{j=0}^n b_j x^j$ for functions on a set of $N=m+n+2$ points $x_1<\ldots<x_N$. It can be used within the Remez algorithm of searching for BURA on a segment. The Verner algorithm calculates $(n+1)$ real eigenvalues $h_1,\ldots,h_{n+1}$ for the matrix pencil $A-hB$, where $A$ and $B$ are some symmetric matrices. Each eigenvalue generates a rational fraction of the type $P_m/Q_n$ which is a candidate for the best approximation. It is known that at most one of these fractions is free from poles on the segment $[x_1, x_N]$, so the following problem arises: how to determine the eigenvalue which generates the rational fraction without poles? It is shown that if $m=0$ and all values $f(x_1),-f(x_2),\ldots,(-1)^{n+2} f(x_{n+2})$ are different and the approximating function is positive (negative) at all points $x_1,\ldots,x_{n+2}$, then this eigenvalue ranks $[(n+2)/2]$-th ($[(n+3)/2]$-th) in value. Three numerical examples illustrate this statement.

Keywords: best uniform rational approximations, rational approximations on finite sets, Remez algorithm, Werner algorithm, selection of eigenvalues in Werner algorithm
Citation in English: Bulletin of Udmurt University. Mathematics, Mechanics, Computer Science, 2015, vol. 25, issue 3, pp. 297-305

Журнал индексируется в Web of Science (Emerging Sources Citation Index)

Журнал индексируется в Scopus

Журнал входит в базы данных zbMATH, MathSciNet

Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science

Журнал включен в перечень ВАК.

Электронная версия журнала на Общероссийском математическом портале Math-Net.Ru.

Журнал включен в Crossref