О достаточном условии глобальной скаляризуемости линейных управляемых систем с локально интегрируемыми коэффициентами

 

 pdf (235K)

Рассматривается линейная нестационарная управляемая система с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами

$$\dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\geqslant 0. \qquad(1) $$

Управление в системе $(1)$ строится в виде линейной обратной связи $u=U(t)x$ с измеримой и ограниченной матричной функцией $U(t)$, $t\geqslant 0$. Для замкнутой системы

$$\dot x =(A(t)+B(t)U(t))x, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad t\geqslant 0, \qquad(2)$$

введено понятие равномерной глобальной квазидостижимости, которое является ослаблением равномерной глобальной достижимости - свойства системы $(2)$, позволяющего за счет выбора функции $U(t)$, $t\geqslant 0$, для матрицы Коши $X_U(t,s)$ этой системы обеспечить выполнение равенств $X_U((k+1)T,kT)=H_k$ при фиксированном $T>0$ и произвольных $k\in\mathbb N$, $\det H_k>0$. Доказано, что из равномерной глобальной квазидостижимости системы $(2)$ следует глобальная скаляризуемость этой системы, то есть существование для произвольной наперед заданной локально интегрируемой и интегрально ограниченной скалярной функции $p=p(t)$, $t\geqslant0$, такой измеримой и ограниченной матричной функции $U=U(t)$, $t\geqslant0$, при которой система $(2)$ асимптотически эквивалентна системе скалярного типа $\dot z=p(t)z$, $z\in\mathbb{R}^n,\ t\geqslant0$.

Ключевые слова: линейная управляемая система, показатели Ляпунова, глобальная скаляризуемость
Цитата: Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2016, т. 26, вып. 2, с. 221-230
DOI: 10.20537/vm160208

On the sufficient condition of global scalarizability of linear control systems with locally integrable coefficients

We consider a linear time-varying control system with locally integrable and integrally bounded coefficients

$$\dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\geqslant 0. \qquad (1)$$

We construct control of the system $(1)$ as a linear feedback $u=U(t)x$ with measurable and bounded function $U(t)$, $t\geqslant 0$. For the closed-loop system

$$\dot x =(A(t)+B(t)U(t))x, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad t\geqslant 0, \qquad(2)$$

a definition of uniform global quasi-attainability is introduced. This notion is a weakening of the property of uniform global attainability. The last property means existence of matrix $U(t)$, $t\geqslant 0$, ensuring equalities $X_U((k+1)T,kT)=H_k$ for the state-transition matrix $X_U(t,s)$ of the system $(2)$ with fixed $T>0$ and arbitrary $k\in\mathbb N$, $\det H_k>0$. We prove that uniform global quasi-attainability implies global scalarizability. The last property means that for any given locally integrable and integrally bounded scalar function $p=p(t)$, $t\geqslant0$, there exists a measurable and bounded function $U=U(t)$, $t\geqslant 0$, which ensures asymptotic equivalence of the system $(2)$ and the system of scalar type $\dot z=p(t)z$, $z\in\mathbb{R}^n$, $t\geqslant0$.

Keywords: linear control system, Lyapunov exponents, global scalarizability
Citation in English: Bulletin of Udmurt University. Mathematics, Mechanics, Computer Science, 2016, vol. 26, issue 2, pp. 221-230

Журнал индексируется в Web of Science (Emerging Sources Citation Index)

Журнал индексируется в Scopus

Журнал входит в базы данных zbMATH, MathSciNet

Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science

Журнал включен в перечень ВАК.

Электронная версия журнала на Общероссийском математическом портале Math-Net.Ru.

Журнал включен в Crossref