О предельном распределении числа серий в полиномиальной последовательности, управляемой цепью Маркова

 pdf (264K)

Настоящая работа посвящена исследованию асимптотических свойств числа серий в последовательности дискретных случайных величин, управляемых цепью Маркова с конечным числом состояний. Состояние цепи на каждом шаге определяет закон распределения знаков в управляемой последовательности на этом шаге. Такая случайная последовательность представляет собой модель скрытой марковской цепи. При помощи метода Чена-Стена получена оценка расстояния по вариации между распределением числа серий длины не меньше заданной в случайной последовательности, управляемой цепью Маркова, и сопровождающим распределением Пуассона. Для ее вывода сначала рассматривалась последовательность из независимых неоднородных полиномиальных случайных величин, а затем использован прием, позволяющий получить оценку расстояния по вариации между смешанным пуассоновским распределением и пуассоновским распределением с параметром, равным среднему числу серий длины не меньше заданной. Эта оценка строится на основе дисперсии параметра смешанного пуассоновского распределения и выведенной ранее оценки для расстояния по вариации для полиномиальной схемы. Отдельно рассмотрен случай стационарной цепи Маркова. При помощи полученных оценок доказаны пуассоновская и нормальная предельные теоремы для числа серий длины не меньше заданной, а также найдено предельное распределение для наибольшей длины серии в управляемой случайной последовательности.

Ключевые слова: марковская цепь, полиномиальная случайная последовательность, число серий, предельная теорема Пуассона, расстояние по вариации, метод Чена-Стена
Цитата: Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2016, т. 26, вып. 3, с. 324-335
DOI: 10.20537/vm160303

On the limit distribution of a number of runs in polynomial sequence controlled by Markov chain

The present paper is devoted to studying the asymptotic properties of a number of runs in the sequence of discrete random variables controlled by Markov chain with a finite number of states. A chain state at each step determines the law of characters distribution in the controlled sequence at this step. This random sequence represents a model of hidden Markov chain. Using Chen-Stein method we estimate the total variation distance between the distribution of the number of runs with length not less than predetermined length in the random sequence controlled by Markov chain and the accompanying Poisson distribution. For this purpose we first consider the sequence of independent inhomogeneous polynomial random variables, and then we use an approach which allows to get the estimate for total variation distance between mixed Poisson distribution and Poisson distribution with the parameter which equals to an average number of runs with length not less than predetermined. The estimate is based on both the variance of the mixed Poisson distribution parameter and the estimate obtained earlier for the total variation distance for the polynomial scheme. Separately we consider the case of a stationary Markov chain. Using derived estimates we investigate Poisson and normal limit theorems for the number of runs with length not less than predetermined, as well as the limit distribution for the maximal run length in a controlled sequence.

Keywords: Markov chain, polynomial random sequence, number of runs, Poisson limit theorem, total variation distance, Chen-Stein method
Citation in English: Bulletin of Udmurt University. Mathematics, Mechanics, Computer Science, 2016, vol. 26, issue 3, pp. 324-335

Журнал индексируется в Web of Science (Emerging Sources Citation Index)

Журнал индексируется в Scopus

Журнал входит в базы данных zbMATH, MathSciNet

Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science

Журнал включен в перечень ВАК.

Электронная версия журнала на Общероссийском математическом портале Math-Net.Ru.

Журнал включен в Crossref