О влиянии вертикальных вибраций на устойчивость перманентных вращений твердого тела вокруг осей, лежащих в главной плоскости инерции

 pdf (421K)

Рассматривается движение твердого тела в однородном поле тяжести в случае высокочастотных вертикальных гармонических колебаний малой амплитуды одной из его точек (точки подвеса). Предполагается, что центр масс тела лежит на одной из главных осей инерции для точки подвеса. В рамках приближенной автономной системы дифференциальных уравнений, записанной в форме канонических уравнений Гамильтона, рассматриваются частные движения тела - перманентные вращения, происходящие вокруг вертикально расположенных осей из главных плоскостей инерции, примыкающих к указанной главной оси. Такие перманентные вращения существуют и для тела с неподвижной точкой подвеса. Исследуется влияние быстрых вибраций на устойчивость этих вращений. Для всех допустимых значений четырехмерного пространства параметров (двух инерционных параметров и параметров, характеризующих частоту вибраций и угловую скорость вращения) выписаны и проиллюстрированы необходимые и в ряде случаев достаточные условия устойчивости, рассматриваемые как условия устойчивости соответствующих положений равновесия приведенной (по Раусу) автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Проведен нелинейный анализ устойчивости для двух частных значений инерционного параметра, отвечающих динамически симметричному телу и телу с геометрией масс для случая Бобылева-Стеклова. Рассмотрены нерезонансный и резонансный случаи, а также случаи вырождения. Проведено сравнение полученных результатов устойчивости с соответствующими результатами для тела с неподвижной точкой.

Ключевые слова: перманентные вращения, высокочастотные вибрации, устойчивость, твердое тело
Цитата: Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2017, т. 27, вып. 1, с. 98-120
DOI: 10.20537/vm170109

On the influence of vertical vibrations on the stability of permanent rotations of a rigid body about axes lying in the main plane of inertia

The motion of a rigid body in a uniform gravity field is considered for the case of high-frequency vertical harmonic small-amplitude oscillations of one of its points (the suspension point). The center of mass of the body is assumed to lie on one of the principal axes of inertia for the suspension point. In the framework of an approximate autonomous system of differential equations of motion written in the canonical Hamiltonian form the special motions of the body are studied, which are permanent rotations about the axes directed vertically and lying in the principal planes of inertia containing the above-mentioned principal axis. Analogous permanent rotations exist for the body with a fixed suspension point. The influence of the fast vibrations on the stability of these rotations is examined. For all admissible values of the four-dimensional parameter space (two inertial parameters, and parameters characterizing the vibration frequency and the rotation angular velocity) the necessary and in some cases sufficient conditions for stability are written and illustrated. They are considered as the stability conditions of the corresponding equilibrium positions of the reduced (in the sense of Routh) autonomous Hamiltonian two-degree-of-freedom system. Nonlinear stability analysis is carried out for two special cases of the inertial parameter corresponding to the dynamically symmetric body and the body with the geometry of the mass for the Bobylev-Steklov case. The nonresonant and resonant cases are considered as well as the degeneration cases. A comparison is made between the results obtained and the corresponding results for the body with the fixed suspension point.

Keywords: permanent rotations, high-frequency oscillations, stability, rigid body
Citation in English: Bulletin of Udmurt University. Mathematics, Mechanics, Computer Science, 2017, vol. 27, issue 1, pp. 98-120

Журнал индексируется в Scopus

Журнал входит в базы данных zbMATH, MathSciNet

Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science

Журнал включен в перечень ВАК.

Электронная версия журнала на Общероссийском математическом портале Math-Net.Ru.

Журнал включен в Crossref