Все выпуски

На примере известной задачи о прокладке трассы изучаются возможности численного решения сосредоточенных задач оптимального управления методом параметризации управления с помощью линейной комбинации $\mu$ функций Гаусса. Напомним, что функция Гаусса (называемая также квадратичной экспонентой) - это функция вида $\varphi(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\dfrac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right]$. Основу метода составляет сведение исходной бесконечномерной задачи оптимизации к конечномерной задаче минимизации целевого функционала по параметрам аппроксимации управления с последующим применением численных методов конечномерной оптимизации. Данная статья опирается на исследование, проведенное автором ранее и касавшееся возможностей аппроксимации функций одного переменного на конечном отрезке линейной комбинацией функций Гаусса, и является его непосредственным продолжением. Прежде всего, мы доказываем утверждение об аппроксимации на любом конечном отрезке материнского вейвлета «мексиканская шляпа» линейной комбинацией двух квадратичных экспонент. Отсюда получаем теоретическое обоснование возможности эффективной аппроксимации функций одного переменного на любом конечном отрезке линейными комбинациями функций Гаусса. После этого мы проводим сравнение качества аппроксимации указанного вида с аппроксимацией по Котельникову на базе численных экспериментов. Затем приводится постановка задачи о прокладке трассы, а также результаты ее численного решения при различных способах параметризации управления, наглядно демонстрирующие преимущества предлагаемого способа, в частности устойчивость численного решения к погрешности вычисления параметров аппроксимации оптимального управления даже при использовании малого количества этих параметров.

On the example of well known problem of a road construction we study the opportunities of numerical solution for lumped optimal control problems by the method of control parametrization with the help of a linear combination of $\mu$ Gaussian functions. Recall that a Gaussian function (named also as quadratic exponent) is one defined as follows $\varphi(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\dfrac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right]$. The method is based on reduction of an original infinite dimensional optimization problem to finite dimensional minimization problem of a cost functional with respect to control approximation parameters. This paper is guided by the former author's research concerned the opportunities of approximation of one variable functions on a finite segment by a linear combination of $\mu$ Gaussian functions, and is to be regarded as its direct continuation. First of all, we prove an assertion concerning approximation on any finite segment for mother wavelet Mexican hat by a linear combination of two Gaussian functions. Hence, we obtain theoretical justification of the opportunity of an effective approximation for one variable functions on any finite segment with the help of linear combinations of Gaussian functions. After that, we give a comparison by quality of the approximation under study with the approximation in the style of Kotelnikov by means of numerical experiments. Then we give the road construction problem formulation and also the results of numerical solution for this problem which demonstrate obviously the advantages of our approach, in particular, a stability of numerical solution with respect to evaluation error of the approximation parameters for an optimal control, even with usage of small count of such parameters.