Все выпуски

Изучается задача, относящаяся к оценке хаусдорфова отклонения выпуклых многоугольников в $\mathbb{R}^2$ от их геометрической разности с кругами достаточно малого радиуса. Задачи с такой тематикой, в которых рассматриваются не только выпуклые многоугольники, но и выпуклые компакты в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n$, возникают в различных областях математики и, в частности, в теории дифференциальных игр, теории управления, выпуклом анализе. Оценки хаусдорфовых отклонений выпуклых компактов в $\mathbb{R}^n$ от их геометрической разности с замкнутыми шарами в $\mathbb{R}^n$ присутствуют в работах Л.С. Понтрягина, его сотрудников и коллег. Эти оценки весьма существенны при выводе оценки рассогласования альтернированного интеграла Л. С. Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследования и альтернированных сумм. Аналогичные оценки оказываются полезными при выводе оценки рассогласования множеств достижимости нелинейных управляемых систем в $\mathbb{R}^n$ и аппроксимирующих их множеств. В работе рассмотрен конкретный выпуклый семиугольник в $\mathbb{R}^2$. Для изучения геометрии этого семиугольника вводится понятие клина в $\mathbb{R}^2$. На базе этого понятия получена верхняя оценка величины хаусдорфова отклонения семиугольника от его геометрической разности с кругом в $\mathbb{R}^2$ достаточно малого радиуса.

We study a problem concerning the estimation of the Hausdorff deviation of convex polygons in $\mathbb R^2$ from their geometric difference with circles of sufficiently small radius. Problems with such a subject, in which not only convex polygons but also convex compacts in the Euclidean space $\mathbb R^n$ are considered, arise in various fields of mathematics and, in particular, in the theory of differential games, control theory, convex analysis. Estimates of Hausdorff deviations of convex compact sets in $\mathbb R^n$ in their geometric difference with closed balls in $\mathbb R^n$ are presented in the works of L.S. Pontryagin, his staff and colleagues. These estimates are very important in deriving an estimate for the mismatch of the alternating Pontryagin’s integral in linear differential games of pursuit and alternating sums. Similar estimates turn out to be useful in deriving an estimate for the mismatch of the attainability sets of nonlinear control systems in $\mathbb R^n$ and the sets approximating them. The paper considers a specific convex heptagon in $\mathbb R^2$. To study the geometry of this heptagon, we introduce the concept of a wedge in $\mathbb R^2$. On the basis of this notion, we obtain an upper bound for the Hausdorff deviation of a heptagon from its geometric difference with the disc in $\mathbb R^2$ of sufficiently small radius.