Все выпуски

Рассматривается движение близкой к автономной, периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности тривиального равновесия. Предполагается, что система зависит от трех параметров, один из которых мал, и при его нулевом значении система автономна. Пусть в автономном случае для некоторого набора двух других параметров обе частоты малых линейных колебаний системы в окрестности равновесия равны нулю и ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений возмущенного движения равен трем, двум или единице. Исследуется структура областей устойчивости и неустойчивости тривиального равновесия системы в окрестности резонансной точки трехмерного пространства параметров, изучается вопрос о существовании, числе и устойчивости (в линейном приближении) периодических движений системы, аналитических по целым или дробным степеням малого параметра. В качестве приложения построены периодические движения динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии) на слабоэллиптической орбите в рассматриваемом случае двух нулевых частот, доказана их неустойчивость.

We consider the motion of a near-autonomous, time-periodic two-degree-of- freedom Hamiltonian system in the vicinity of trivial equilibrium. It is assumed that the system depends on three parameters, one of which is small, and when it is zero, the system is autonomous. Suppose that in the autonomous case for a set of two other parameters, both frequencies of small linear oscillations of the system in the vicinity of the equilibrium are equal to zero, and the rank of the coefficient matrix of the linearized equations of perturbed motion is three, two, or one. We study the structure of the regions of stability and instability of the trivial equilibrium of the system in the vicinity of the resonant point of a three-dimensional parameter space, as well as the existence, number and stability (in a linear approximation) of periodic motions of the system that are analytic in integer or fractional powers of the small parameter. As an application, periodic motions of a dynamically symmetric satellite (solid) with respect to the center of mass are obtained in the vicinity of its stationary rotation (cylindrical precession) in a weakly elliptical orbit in the case of two zero frequencies under study, and their instability is proved.