Все выпуски

В статье разработано приближенно-аналитическое решение задачи конформного отображения внутренних точек произвольного многоугольника на единичный круг. На предварительном этапе задача конформного отображения сформулирована в виде краевой задачи (задача Шварца). Последняя сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода с ядром типа Коши относительно неизвестной комплексной функции плотности на границе области с последующим вычислением интеграла Коши. Разработанное приближенно-аналитическое решение основано на разложении ядра Коши в системе многочленов Лежандра первого и второго рода. Выполнена априорная и апостериорная оценки сходимости и точности заданного решения. Определены экспоненциальная сходимость решения в $L_2\left([0,1]\right)$ и полиномиальная в $C\left([0,1]\right)$. Для наглядного сравнения результативности разработанного решения приведены расчеты на тестовых примерах.

In the article, an approximate analytical solution of the problem of conformal mapping of internal points of an arbitrary polygon to a unit circle is developed. At the preliminary stage, the conformal mapping problem is formulated as a boundary value problem (Schwartz problem). The latter is reduced to the solution of the Fredholm integral equation of the second kind with a Cauchy-type kernel with respect to an unknown complex density function at the boundary domain, followed by the calculation of the Cauchy integral. The developed approximate analytical solution is based on the Cauchy kernel decomposition in the Legendre polynomial system of the first and second kind. A priori and a posteriori estimates of the convergence and accuracy of the given solution are fulfilled. The exponential convergence of the solution in $L_2\left([0,1]\right)$ and the polynomial one in $C\left([0,1]\right)$ are defined. Calculations on test examples are given for a visual comparison of the effectiveness of the developed solution.