Текущий выпуск Выпуск 1, 2022 Том 32

Приближенный метод решения задачи конформного отображения произвольного многоугольника на единичный круг

 pdf (6424K)

В статье разработано приближенно-аналитическое решение задачи конформного отображения внутренних точек произвольного многоугольника на единичный круг. На предварительном этапе задача конформного отображения сформулирована в виде краевой задачи (задача Шварца). Последняя сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода с ядром типа Коши относительно неизвестной комплексной функции плотности на границе области с последующим вычислением интеграла Коши. Разработанное приближенно-аналитическое решение основано на разложении ядра Коши в системе многочленов Лежандра первого и второго рода. Выполнена априорная и апостериорная оценки сходимости и точности заданного решения. Определены экспоненциальная сходимость решения в $L_2\left([0,1]\right)$ и полиномиальная в $C\left([0,1]\right)$. Для наглядного сравнения результативности разработанного решения приведены расчеты на тестовых примерах.

Ключевые слова: конформное отображение, произвольный многоугольник, задача Шварца, логарифмический потенциал двойного слоя, комплексная функция плотности, уравнение Фредгольма, многочлены Лежандра
Цитата: Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2022, т. 32, вып. 1, с. 107-129
DOI: 10.35634/vm220108

Approximate method for solving the problem of conformal mapping of an arbitrary polygon to a unit circle

In the article, an approximate analytical solution of the problem of conformal mapping of internal points of an arbitrary polygon to a unit circle is developed. At the preliminary stage, the conformal mapping problem is formulated as a boundary value problem (Schwartz problem). The latter is reduced to the solution of the Fredholm integral equation of the second kind with a Cauchy-type kernel with respect to an unknown complex density function at the boundary domain, followed by the calculation of the Cauchy integral. The developed approximate analytical solution is based on the Cauchy kernel decomposition in the Legendre polynomial system of the first and second kind. A priori and a posteriori estimates of the convergence and accuracy of the given solution are fulfilled. The exponential convergence of the solution in $L_2\left([0,1]\right)$ and the polynomial one in $C\left([0,1]\right)$ are defined. Calculations on test examples are given for a visual comparison of the effectiveness of the developed solution.

Keywords: conformal mapping, arbitrary polygon, Schwartz problem, logarithmic double layer potential, complex density function, Fredholm equation, Legendre polynomials
Citation in English: Bulletin of Udmurt University. Mathematics, Mechanics, Computer Science, 2022, vol. 32, issue 1, pp. 107-129

Журнал индексируется в Web of Science (Emerging Sources Citation Index)

Журнал индексируется в Scopus

Журнал входит в базы данных zbMATH, MathSciNet

Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science

Журнал включен в перечень ВАК.

Электронная версия журнала на Общероссийском математическом портале Math-Net.Ru.

Журнал включен в Crossref